专题2.8函数与方程班级__________姓名_____________学号___________得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置上(共10题，每小题6分，共计60分)．1．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】由题意知，f(－1)·f(1)<0，即(1－a)(1＋a)<0，解得a<－1或a>1.2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝2x＋，设g(x)＝若函数y＝g(x)－t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是________．【答案】3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x)．若当x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．【答案】7【解析】作出函数f(x)的图象(如图)，则它与直线y＝1在[－2,4]上的交点的个数，即为函数y＝f(x)－1在[－2,4]的零点的个数，由图象观察知共有7个交点，从而函数y＝f(x)－1在[－2,4]上的零点有7个．4．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是________．【答案】[－1,0)【解析】当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝，所以只需要当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈(0,1]，所以－a∈(0,1]，即a∈[－1,0)．5．函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为________．【答案】∪(1，＋∞)6．函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】由于当x≤0，f(x)＝|x2＋2x－1|时图象与x轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意只需方程2x－1＋a＝0有1个正根即可，变形为2x＝－2a，结合图形只需－2a＞1，解得a＜－.7．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是__________．【答案】(0,1)8．方程2x＋3x＝k的解在[1,2)内，则k的取值范围为______．【答案】[5,10)【解析】令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数．当方程2x＋3x＝k的解在(1,2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5a时，f(x)＝x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点.②若0≤a≤1，则a3≤a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y＝b至二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。(共4题，每小题10分，共计40分)．11.是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】∪(1，＋∞).【解析】令f(x)＝0，则Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9＋＞0恒成立，即f(x)＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可.f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，∴a≤－或a≥1.12．【2015温州模拟】关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．【答案】(－∞，－1)．【解析】设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，∵f(0)＝1>0，则应有f(2)<0，又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m<－.②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则∴∴∴－≤m<－1.由①②可知m的取值范围(－∞，－1)．13．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.证明：令g(x)＝f(x)－x.因为g(0)＝，g＝f－＝－，所以g(0)·g<0.又函数g(x)在上是连续曲线，所以存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.14．已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．
