3个附加题综合仿真练(四)1．本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB是圆O的直径，C为圆O外一点，且AB＝AC，BC交圆O于点D，过D作圆O的切线交AC于点E.求证：DE⊥AC.解：如图，连结OD.因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.由圆O知OB＝OD，所以∠B＝∠BDO.从而∠BDO＝∠C，所以OD∥AC.又DE为圆O的切线，所以DE⊥OD，所以DE⊥AC.B．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A＝，X＝，且AX＝，其中x，y∈R.(1)求x，y的值；(2)若B＝，求(AB)－1.解：(1)AX＝＝.因为AX＝，所以解得x＝3，y＝0.(2)由(1)知A＝，又B＝，所以AB＝＝.设(AB)－1＝，则＝，即＝.所以解得a＝，b＝－，c＝0，d＝，即(AB)－1＝.C．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0，已知直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．解：因为曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0，所以ρ2sin2θ＝4ρcosθ，即曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝4x，得2＝4，即t2＋8t＝0，解得t1＝0，t2＝－8.所以AB＝|t1－t2|＝8.D．[选修4－5：不等式选讲]设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)>2的解集；(2)若∀x∈R，f(x)≥t2－t恒成立，求实数t的取值范围．解：(1)不等式f(x)>2可化为或或解得x<－5或x＞1，所以所求不等式的解集为{x|x<－5或x>1}．(2)由f(x)＝|2x＋1|－|x－2|＝可得f(x)≥－，若∀x∈R，f(x)≥t2－t恒成立，则t2－t≤－，即2t2－11t＋5≤0，解得≤t≤5.故实数t的取值范围为.2.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3.D是线段BC的中点．(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)求二面角B1A1DC1的余弦值．解：因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，所以分别以AB，AC，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,3)，B1(2,0，3)，C1(0,4,3)，因为D是BC的中点，所以D(1，2,0)，(1)因为A1C1＝(0,4,0)，A1D＝(1,2，－3)，设平面A1C1D的法向量n1＝(x1，y1，z1)，则即取所以平面A1C1D的法向量n1＝(3,0,1)，而DB1＝(1，－2,3)，设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ，所以sinθ＝|cos〈n1，DB1〉|＝＝＝，所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.(2)A1B1＝(2,0,0)，DB1＝(1，－2,3)，设平面B1A1D的法向量n2＝(x2，y2，z2)，则即取所以平面B1A1D的法向量n2＝(0,3,2)，所以cos〈n1，n2〉＝＝＝，故结合图象知二面角B1A1DC1的余弦值.3．已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数．(1)写出f(6)的值；(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1)Y6＝{1,2,3,4,5,6}，S6中的元素(a，b)满足：若a＝1，则b＝1,2,3,4,5,6；若a＝2，则b＝1,2,4,6；若a＝3，则b＝1,3,6.所以f(6)＝13.(2)当n≥6时，f(n)＝(t∈N*)．下面用数学归纳法证明：①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立．②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：a．若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋3＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；b．若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；c．若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；d．若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；e．若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；f．若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．
