6个解答题专项强化练(一)三角函数与解三角形1．已知向量m＝(cosα，－1)，n＝(2，sinα)，其中α∈，且m⊥n.(1)求cos2α的值；(2)若sin(α－β)＝，且β∈，求角β的值．解：法一：(1)由m⊥n得，2cosα－sinα＝0，即sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝，又α∈，所以cosα＝，sinα＝，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝2－2＝－.(2)由α∈，β∈，得α－β∈.因为sin(α－β)＝，所以cos(α－β)＝.所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.因为β∈，所以β＝.法二：(1)由m⊥n得，2cosα－sinα＝0，tanα＝2,故cos2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝－.(2)由(1)知，2cosα－sinα＝0,且sin2α＋cos2α＝1，α∈，所以sinα＝，cosα＝，由α∈，β∈，得α－β∈.因为sin(α－β)＝，所以cos(α－β)＝.所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.因为β∈，所以β＝.2．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.(1)求sinC的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，所以由正弦定理得sinC＝＝×＝.(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得72＝b2＋32－2b×3×，解得b＝8或b＝－5(舍去)．所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×8×3×＝6.3．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sinxcosx(x∈R)．(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(1)由题意，f(x)＝－cos2x－sin2x＝－2＝－2sin，故f＝－2sin＝－2sin＝2.(2)由(1)知f(x)＝－2sin.则f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质：令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．4．如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2.(1)若AD⊥BC，求∠BAC的大小；(2)若∠ABC＝，求△ADC的面积．解：(1)设∠BAD＝α，∠DAC＝β.因为AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，所以tanα＝，tanβ＝，所以tan∠BAC＝tan(α＋β)＝＝＝1.又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝.(2)设∠BAD＝α.在△ABD中，∠ABC＝，AD＝6，BD＝3.由正弦定理得＝，解得sinα＝.因为AD＞BD，所以α为锐角，从而cosα＝＝.因此sin∠ADC＝sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＝.所以△ADC的面积S＝×AD×DC×sin∠ADC＝×6×2×＝.5．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.(1)求ω；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，所以f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx＝sinωx－cosωx＝＝sin.因为f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.故ω＝6k＋2，k∈Z.又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f(x)＝sin，所以g(x)＝sin＝sin.因为x∈，所以x－∈，当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.6．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若向量m＝(a，cosA)，向量n＝(cosC，c)，且m·n＝3bcosB.(1)求cosB的值；(2)若a，b，c成等比数列，求＋的值．解：(1)因为m·n＝3bcosB，所以acosC＋ccosA＝3bcosB.由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝3sinBcosB，所以sin(A＋C)＝3sinBcosB，所以sinB＝3sinBcosB.因为B是△ABC的内角，所以sinB≠0，所以cosB＝.(2)因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.由正弦定理，得sin2B＝sinAsinC.因为cosB＝，B是△ABC的内角，所以sinB＝.所以＋＝＋＝＝＝＝＝＝.
