第1讲季节时间序列（SARIMA）模型1．时间序列（ARIMA）模型回顾时间序列分析方法由Box-Jenkins(1976)年提出。它适用于各种领域的时间序列分析。时间序列模型不同于经济计量模型的两个特点是：（1）这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。（2）明确考虑时间序列的非平稳性。如果时间序列非平稳，建立模型之前应先通过差分把它变换成平稳的时间序列，再考虑建模问题。时间序列模型的应用：（1）研究时间序列本身的变化规律（何种结构，建立模型，有无确定性趋势，有无单位根，有无季节性成分）。（2）在回归模型的预测中首先预测解释变量的值。（3）非经典经济计量学的基础知识之一。滞后算子与差分算子滞后算子：表示时间滞后的算子，常用L或B表示。例，Lxt=xt-1，Lnxt=xt-n。差分：时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算叫差分。表示差分运算的算子称作差分算子，常用或D表示。差分分为一阶差分和高阶差分，一次差分和高次差分。例，一阶差分xt=xt-xt-1=xt-Lxt=(1-L)xt。例，高阶差分kxt=xt-xt-k=xt–Lkxt=(1-Lk)xt。例，二次差分xt=(1-L)2xt=(1–2L+L2)xt=xt–2xt-1+xt–2。高阶差分常用于季节性数据的差分，如季度数据的4阶差分、月度数据的12阶差分等。滞后算子与差分算子可以直接参与运算。滞后算子有如下性质。（1）常数与滞后算子相乘等于常数。Lc=c（2）滞后算子适用于分配律。(Li+Lj)xt=Lixt+Ljxt=xt-i+xt–j（3）滞后算子适用于结合律。LiLjxt=Li+jxt=xt-i–j,(Lj)2xt=LjLjxt=L2jxt=xt–2j（4）滞后算子的零次方等于1。L0xt=xt（5）滞后算子的负整数次方意味着超前。L-ixt=xt+i中文对时间前后的描述混乱。以前，从前，前年，滞后现在以后，今后，后年，超前时间backward,lag,now,lead,forward,几种典型的随机过程1．白噪声（whitenoise）过程对于随机过程{xt,tT},如果E(xt)=0,Var(xt)=2,tT;Cov(xt,xt+k)=0,(t+k)T,k0,则称{xt}为白噪声过程。2．随机游走（randomwalk）过程1对于下面的表达式xt=xt-1+ut如果ut为白噪声过程，则称xt为随机游走（随机游动、随机漫游）过程。3．自回归过程，AR(p)如果一个剔出均值和确定性成分的线性过程可表达为xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+ut,其中i,i=1,…p是自回归参数，ut是白噪声过程，则称xt为p阶自回归过程，用AR(p)表示。xt是由它的p个滞后变量的加权和以及ut相加而成。4．移动平均过程，MA(q)如果一个剔出均值和确定性成分的线性随机过程可用下式表达xt=ut+1ut–1+2ut-2+…+qut–q=(1+1L+2L2+…+qLq)ut=L)ut其中1,2,…,q是移动平均参数，ut为白噪声过程，则上式称为q阶移动平均过程，记为MA(q)。之所以称“移动平均”，是因为xt是由q+1个ut和ut滞后项的加权和构造而成。“移动”指t的变化，“平均”指加权和。5．自回归移动平均过程，ARMA(p,q)由自回归和移动平均两部分共同构成的随机过程称为自回归移动平均过程，记为ARMA(p,q),其中p,q分别表示自回归和移动平均部分的最大阶数。ARMA(p,q)的一般表达式是xt=1xt-1+2xt-2+…+pxt-p+ut+1ut-1+2ut-2+...+qut-q即(1-1L-2L2-…-pLp)xt=(1+1L+2L2+…+qLq)ut或(L)xt=(L)ut其中(L)和(L)分别表示L的p,q阶特征多项式。ARMA(p,q)过程的平稳性只依赖于其自回归部分，即(L)=0的全部根取值在单位圆之外（绝对值大于1）。其可逆性则只依赖于移动平均部分，即(L)=0的根取值应在单位圆之外。6．单整（单积）自回归移动平均过程，ARIMA(p,d,q)考虑如下模型(L)dyt=(L)ut其中(L)是一个平稳的自回归算子。即(L)=0的根都大于1。(L)表示可逆的移动平均算子。(L)=0的根都大于1。则称yt为（p,d,q）阶单整(单积)自回归移动平均过程，记为ARIMA(p,d,q)。其中(L)d称为广义自回归算子。Wold分解定理：任何协方差平稳过程xt，都可以被表示为xt--dt=ut+1ut-1+2ut-2+…+=∑j=0∞ψjut−j其中表示xt的期望。dt表示xt的线性确定性成分，如周期性成分、时间t的多项式和指2数形式，虚拟变量等，可以直接用xt的滞后值预测。0=1，∑j=0...
