数学思想集训(一)函数与方程思想题组1运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题1．已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn是其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8的值为________．64[由题意可知a＝a1a5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，解得d＝2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.∴S8＝＝4×(1＋15)＝64.]2．若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，则k的取值范围是________．[构造函数f(x)＝x2＋2kx－1，因为关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，所以即所以－＜k≤0，所以k的取值范围是.]3．已知数列{an}满足a1＝60，an＋1－an＝2n(n∈N*)，则的最小值为________．【导学号：19592071】[由an＋1－an＝2n，得an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋60＝n2－n＋60.∴＝＝n＋－1.令f(x)＝x＋－1，易知f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．又n∈N*，当n＝7时，＝7＋－1＝，当n＝8时，＝8＋－1＝.又＜，故的最小值为.]4．已知函数f(x)＝xlnx＋a，g(x)＝x2＋ax，其中a≥0.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)也相切，求a的值；(2)证明：x＞1时，f(x)＋＜g(x)恒成立．[解](1)由f(x)＝xlnx＋a，得f(1)＝a，f′(x)＝lnx＋1，所以f′(1)＝1.3分所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为y＝x＋a－1.因为直线y＝x＋a－1与曲线y＝g(x)也相切，所以两方程联立消元得x2＋ax＝a＋x－1，即x2＋(a－1)x＋1－a＝0，5分所以Δ＝(a－1)2－4××(1－a)＝0，得a2＝1.因为a≥0，所以a＝1.8分(2)证明：x＞1时，f(x)＋＜g(x)恒成立，等价于x2＋ax－xlnx－a－＞0恒成立．令h(x)＝x2＋ax－xlnx－a－，则h(1)＝0且h′(x)＝x＋a－lnx－1.12分令φ(x)＝x－lnx－1，则φ(1)＝0且φ′(x)＝1－＝，所以x＞1时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增，所以φ(x)＞φ(1)＝0.14分又因为a≥0，所以h′(x)＞0，h(x)单调递增，所以h(x)＞h(1)＝0，所以x＞1时，x2＋ax－xlnx－a－＞0恒成立，即x＞1时，f(x)＋＜g(x)恒成立.16分题组2利用函数与方程思想解决几何问题5．设抛物线C：y2＝3px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为________．y2＝4x或y2＝16x[由抛物线的定义可知MF＝xM＋＝5，∴xM＝5－，y＝15p－，故以MF为直径的圆的方程为(x－xM)(x－xF)＋(y－yM)(y－yF)＝0，即＋(2－yM)(2－0)＝0.∴yM＝2＋－＝2＋⇒yM＝4，p＝或.∴C的方程为y2＝4x或y2＝16x.]图16．如图1所示，在单位正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P，使得AP＋D1P最短，则AP＋D1P的最小值是________．[设A1P＝x(0≤x≤)．在△AA1P中，AP＝＝，在Rt△D1A1P中，D1P＝.于是令y＝AP＋D1P＝＋，下面求对应函数y的最小值．将函数y的解析式变形，得y＝＋，其几何意义为点Q(x,0)到点M与点N(0，－1)的距离之和，当Q，M，N三点共线时，这个值最小，且最小值为＝.]7．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，并且经过定点P.(1)求椭圆E的方程；(2)问：是否存在直线y＝－x＋m，使直线与椭圆交于A，B两点，且满足OA·OB＝？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．[解](1)由e＝＝且＋＝1，c2＝a2－b2，解得a2＝4，b2＝1，即椭圆E的方程为＋y2＝1.4分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⇒x2＋4(m－x)2－4＝0⇒5x2－8mx＋4m2－4＝0.(*)所以x1＋x2＝，x1x2＝，y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＝m2－m2＋＝，14分由OA·OB＝得(x1，y1)·(x2，y2)＝，即x1x2＋y1y2＝，＋＝，m＝±2.又方程(*)要有两个不等实根，所以Δ＝(－8m)2－4×5(4m2－4)＞0，解得－＜m＜，所以m＝±2.16分8．如图2，直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝5，AA′＝AB＝6，D，E分别为AB和BB′上的点，且＝＝λ.(1)求证：当λ＝1时，A′B⊥CE；(2)当λ为何值时，三棱锥A′－CDE的体积最小，并求出最小体积．图2[解](1)证明：∵λ＝1，∴D，E分别为AB和BB′的中点.2分又AA′＝AB，且三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，∴平行四边形ABB′A′为正方形，∴DE⊥A′B.5分∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB.∵三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，∴CD⊥平面ABB′A′，∴CD⊥A′B，7分又CD∩DE＝D，∴A′B⊥平面CDE.∵CE⊂平面CDE，∴A′B⊥CE.10分(2)设BE＝x，则AD＝x，DB＝6－x，B′E＝6－x.由已知可得C到平面A′DE的距离即为△ABC的边AB所对应的高h＝＝4，12分∴VA′－CDE＝VC－A′DE＝(S四边形ABB′A－S△AA′D－S△DBE－S△A′B′E)·h＝·h＝(x2－6x＋36)＝[(x－3)2＋27](0＜x＜6)，∴当x＝3，即λ＝1时，VA′－CDE有最小值18.16分
