专题03导数一．基础题组1.【2005江苏，理14】曲线在点（1,3）处的切线方程是.【答案】4x-y-1=0.2.【2006江苏，理15】对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是.【答案】2n+1-2．【解析】，曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n切点为（2，-2n）,所以切线方程为y+2n=k(x-2),令x=0得an=(n+1)2n,令bn=.数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2.3.【2007江苏，理9】已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）>0，对于任意实数x，有f（x）≥0，则的最小值为A.3B.C.2D.【答案】C.【解析】 f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0； 对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2-4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；当a=c时取等号．故选C．4.【2007江苏，理13】已知函数f（x）=x3－12x+8在区间一3，3］上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝__________.【答案】32．【解析】解：令f′（x）=3x2-12=0，得x=-2或x=2，列表得：可知M=24，m=-8，∴M-m=32．故答案为：32.5.【2008江苏，理8】设直线是曲线的一条切线，则实数的值是___________.【答案】ln2－1．【解析】，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．6.【2009江苏，理3】函数f(x)＝x3－15x2－33x+6的单调减区间为_____________________.【答案】(－1,11)．【解析】f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x+1),当x＜－1或x＞11时,f′(x)＞,f(x)单调递增;当－1＜x＜11时,f′(x)＜0,f(x)单调递减.7.【2009江苏，理9】在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y＝x3－10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为___________________.8.【2014江苏，理11】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，且该曲线在点处的切线与直线平行，则.【答案】．【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得所以．9.【2015江苏高考，17】（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）（2）①定义域为，②千米解得．（2）①由（1）知，（），则点的坐标为，设在点处的切线交，轴分别于，点，，则的方程为，由此得，．故，．②设，则．令，解得．二．能力题组1.【2008江苏，理17】如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设（rad），将表示成的函数；（ii）设（km），将表示成的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短.【答案】（1）（i）（ii）BCDAOP．（2）点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边km处.令0得sin，因为，所以=，当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以当=时，.这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边km处.2.【2011江苏，理12】在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f(x)＝ex(x＞0)的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M.过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．【答案】．【解析】设点坐标为，由得，的方程为，令得，，过点的的垂线方程为，令得，，所以，令，对函数求导，当时，函数的最大值为.3.【2011江苏，理17】请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的...
