高考数学 题型全归纳 叠加、叠乘、迭代递推、代数转化VIP专享VIP免费

叠加、叠乘、迭代递推、代数转化已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法．一、叠加相消．类型一：形如a＝a+f(n)，其中f(n)为关于n的多项式或指数形式（a）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消．例1：已知数列｛a｝,a＝0,n∈N，a＝a＋（2n－1），求通项公式a．解： a=a＋（2n－1）∴a=a＋（2n－1）∴a－a=1、a－a=3、……a－a=2n－3∴a=a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)=0＋1＋3＋5＋…＋(2n－3)=[1＋(2n－3)](n－1)=(n－1)2n∈N练习1：⑴.已知数列｛a｝,a=1,n∈N，a=a＋3n，求通项公式a．⑵.已知数列｛a｝满足a＝3，，n∈N，求a．二、叠乘相约．类型二：形如.其中f(n)=（p≠0，m≠0,b–c=km,k∈Z）或=kn（k≠0）或=km(k≠0,0＜m且m≠1)．例2：已知数列｛a｝,a=1，a＞0,(n＋1)a2－na2＋aa=0，求a．解： (n＋1)a2－na2＋aa=0∴[(n＋1)a－na](a＋a)=0 a＞0∴a＋a＞0∴(n＋1)a－na=0∴∴练习2：⑴已知数列｛a｝满足S=a(n∈N),S是{a}的前n项和,a=1,求a．⑵.已知数列｛a｝满足a=3na(n∈N)，且a=1，求a．三、逐层迭代递推．类型三：形如a=f(a)，其中f(a)是关于a的函数.——需逐层迭代、细心寻找其中规律．例3：已知数列｛a｝，a=1,n∈N，a=2a＋3n,求通项公式a．解： a=2a＋3n∴a=2a＋3n-1=2(2a＋3n-2)＋3n-1=22(2a＋3n-3)＋2·3n-2＋3n-1=……=2n-2(2a＋3)＋2n-3·32＋2n-4·33＋2n-5·34＋…＋22·3n-3＋2·3n-2＋3n-1=2n-1＋2n-2·3＋2n-3·32＋2n-4·33＋…＋22·3n-3＋2·3n-2＋3n-1练习3:⑴.若数列｛a｝中，a=3，且a=a（n∈N），求通项a.⑵.已知数列｛a｝的前n项和S满足S=2a+，n∈N,求通项a．四、运用代数方法变形，转化为基本数列求解．类型四：形如=，（pq≠0）．且的数列，——可通过倒数变形为基本数列问题．当p=－q时，则有：转化为等差数列；当p≠－q时，则有：．同类型五转化为等比数列．例4：若数列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通项a．解： 又∴，∴∴ ∴数列{a}是首项为1，公差为的等差数列．∴=1＋∴a=n∈N练习4：已知f(n)=，数列{a}满足a=1，a=f(a)，求a．类型五：形如a＝pa+q,pq≠0，p、q为常数．当p＝1时，为等差数列；当p≠1时，可在两边同时加上同一个数x，即a+x=pa+q+xa+x=p(a+)，令x=∴x=时，有a+x=p(a+x)，从而转化为等比数列{a+}求解．例5：已知数列{a}中，a=1，a=a+1，n=1、2、3、…，求通项a．解： a=a+1a－2=(a－2)又 a－2=-1≠0∴数列{a－2}首项为-1，公比为的等比数列．∴a－2=-1即a=2－2n∈N练习5：⑴.已知a=1，a=2a+3(n=2、3、4…)，求数列{a}的通项．⑵.已知数列｛a｝满足a=，a=，求a．类型六：形如a＝pa+f(n)，p≠0且p为常数，f(n)为关于n的函数．当p＝1时，则a＝a+f(n)即类型一．当p≠1时，f(n)为关于n的多项式或指数形式（a）或指数和多项式的混合形式．⑴若f(n)为关于n的多项式（f(n)=kn+b或kn+bn+c，k、b、c为常数），——可用待定系数法转化为等比数列．例6：已知数列{a}满足a=1，a=2a＋n，n∈N求a．解：令a+x[a(n+1)+b(n+1)+c]=2(a+an+bn+c)即a=2a+(2a–ax)n+(2b-2ax–bx)n+2c–ax–bx–cx比较系数得：令x=1，得：∴a+(n+1)+2(n+1)+3=2(a+n+2n+3) a+1+2×1+3=7令b=a+n+2n+3则b=2bb=7∴数列{b}为首项为7，公比为2德等比数列∴b=7×2即a+n+2n+3=7×2∴a=7×2－(n+2n+3)n∈N⑵若f(n)为关于n的指数形式（a）．①当p不等于底数a时，可转化为等比数列；②当p等于底数a时，可转化为等差数列．例7：（同例3）若a=1，a=2a+3，(n=2、3、4…)，求数列{a}的通项a．解: a=2a+3∴令a+x×3=2(a+x×3)得a=2a－x×3令-x×3=3x=-1∴a－3=2(a－3)又 a－3=-2∴数列{}是首项为-2,公比为2的等比数列．∴=-2·2即a=3-2n∈N例8：数...