课时达标检测(三十七)直线、平面垂直的判定与性质[练基础小题——强化运算能力]1.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,则四面体PABC中共有________个直角三角形.解析:由PA⊥平面ABC可得△PAC,△PAB是直角三角形,且PA⊥BC.又∠ABC=90°,即AB⊥BC,所以△ABC是直角三角形,且BC⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,所以BC⊥PB,即△PBC为直角三角形,故四面体PABC中共有4个直角三角形.答案:42.如图,PA⊥⊙O所在平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中正确的结论有________.(填序号)解析:①AE⊂平面PAC,BC⊥AC,BC⊥PA⇒AE⊥BC,故①正确;②AE⊥PC,AE⊥BC,PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB,AF⊥PB,EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB,故②正确;③AF⊥PB,若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC,则AF∥AE与已知矛盾,故③错误;由①可知④正确.答案:①②④3.(2018·盐城中学月考)已知α,β,γ是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题,如果把α,β,γ中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有________个.解析:若α,β换为直线a,b,则命题化为“a∥b,且a⊥γ⇒b⊥γ”,此命题为真命题;若α,γ换为直线a,b,则命题化为“a∥β,且a⊥b⇒b⊥β”,此命题为假命题;若β,γ换为直线a,b,则命题化为“a∥α,且b⊥α⇒a⊥b”,此命题为真命题.答案:24.在三棱锥PABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的________心.(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的________心.解析:(1)如图1,连结OA,OB,OC,OP,在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心.(2)如图2,延长AO,BO,CO分别交对边于H,D,G点, PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,∴PC⊥平面PAB,AB⊂平面PAB,∴PC⊥AB,又AB⊥PO,PO∩PC=P,∴AB⊥平面PGC,又CG⊂平面PGC,∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB的高.同理可证BD,AH为△ABC底边上的高,即O为△ABC的垂心.答案:(1)外(2)垂[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1.若PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连结PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂直的平面有________对.解析:由于PD⊥平面ABCD,故平面PAD⊥平面ABCD,平面PDB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面ABCD,平面PDA⊥平面PDC,平面PAC⊥平面PDB,平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PDC,共7对.答案:72.(2017·徐州模拟)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥DABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是________.(填序号)解析:由题意知,BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,又由②知③正确;由①知④错误.答案:①②③3.设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件.解析:若α⊥β,因为α∩β=m,b⊂β,b⊥m,所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α,又a⊂α,所以a⊥b,充分性成立;反过来,当a∥m时,因为b⊥m,且a,m共面,一定有b⊥a,但不能保证b⊥α,所以不能推出α⊥β,必要性不成立.所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件.答案:充分不必要4.如图,点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个命题:①三棱锥AD1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________.解析:由题意可得直线BC1平行于直线AD1,并且直线AD1⊂平面AD1C,直线BC1⊄平面AD1C,所以直线BC1∥平面AD1C.所以点P到平面AD1C的距离不变,VAD1PC=VPAD1C,所以体积不变.故①正确;连结A1C1,A1B,可得平面AD1C∥平面A1C1B.又因为A1P⊂平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,故②正确;当点P运动到B点时,△DBC1是等边三角形,所以DP...