专题强化训练(二十一)导数及其应用1．[2019·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝lnx－
(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线．解：(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．因为f′(x)＝＋＞0，所以f(x)在(0,1)，(1，＋∞)单调递增．因为f(e)＝1－＜0，f(e2)＝2－＝＞0，所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零点x1，即f(x1)＝0
又0＜＜1，f＝－lnx1＋＝－f(x1)＝0，故f(x)在(0,1)有唯一零点
综上，f(x)有且仅有两个零点．(2)因为＝，故点B在曲线y＝ex上．由题设知f(x0)＝0，即lnx0＝，连接AB，则直线AB的斜率k＝＝＝
曲线y＝ex在点B处切线的斜率是，曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处切线的斜率也是，所以曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线．2．[2019·北京卷]已知函数f(x)＝x3－x2＋x
(1)求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x∈[－2,4]时，求证：x－6≤f(x)≤x；(3)设F(x)＝|f(x)－(x＋a)|(a∈R)，记F(x)在区间[－2,4]上的最大值为M(a)．当M(a)最小时，求a的值．解：(1)由f(x)＝x3－x2＋x得f′(x)＝x2－2x＋1
令f′(x)＝1，即x2－2x＋1＝1，得x＝0或x＝
又f(0)＝0，f＝，所以曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程是y＝x与y－＝x－，即y＝x与y＝x－
(2)令g(x)＝f(x)－x，x∈[－2,4]．由g(x)＝x3－x2得g′(x)＝x2－2x
令g′(x)＝0得x＝0或x＝
x，g′(x)，g(x)的情况如下：x－2(－2,0)04g′(x)＋－
