专题强化训练(四)转化与化归思想一、选择题1．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80B．30C．26D．16解析：取n＝1，则{an}满足S1＝a1＝2，S3＝14，∴q＝2，S4＝30，故选B.答案：B2．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为()A.B.C.D.解析：因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以不妨设a＝(1,0)，b＝，则2a－b＝，所以a·(2a－b)＝，故cos〈a,2a－b〉＝＝＝.答案：D3．已知P，Q是椭圆3x2＋5y2＝1上满足∠POQ＝90°的两个动点，则＋等于()A．34B．8C.D.解析：(特例法)取两特殊点P，Q即两个端点，则＋＝3＋5＝8，故选B.答案：B4．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝2cos2x－sin2x＋2sin2x＋2cos2x＝4cos2x＋sin2x＝3cos2x＋1＝3·＋1＝＋，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为＋＝4，故选B.答案：B5．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝cos的图象()A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度解析：y＝cos＝cos＝sin＝sin＝sin，所以只需把函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，即可得到函数y＝sin的图象．故选C.答案：C6．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]解析：利用基本不等式转化为关于x＋y的不等式，求解不等式即可． 2x＋2y≥2，2x＋2y＝1，∴2≤1.∴2x＋y≤＝2－2，∴x＋y≤－2.即x＋y∈(－∞，－2]．答案：D7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝ac，a2＋bc＝c2＋ac，则的值为()A.B.C．2D.解析： b2＝ac，∴a2＋bc＝c2＋ac＝c2＋b2.∴a2＝b2＋c2－bc，又a2＝b2＋c2－2bccosA，∴cosA＝－，sinA＝.又由b2＝ac可得sin2B＝sinA·sinC，∴＝＝＝.故选D.答案：D8．[2019·河南名校联盟]已知tan＝3，则cos＝()A.B.C.D.解析：由tan＝＝3，解得tanθ＝，则cos＝(cos2θ＋sin2θ)＝×＝×＝，故选D.答案：D9．若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()A．[－1,1]B.C.D.解析：取a＝－1，则f(x)＝x－sin2x－sinx，f′(x)＝1－cos2x－cosx，但f′(0)＝1－－1＝－<0，不具备在(－∞，＋∞)上单调递增的条件，故排除A，B，D.故选C.答案：C10．[2019·山西晋城三模]已知a＝ln，b＝e－1，c＝，则a，b，c的大小关系为()A．b>a>cB．a>c>bC．a>b>cD．b>c>a解析：a＝ln＝，b＝e－1＝，c＝＝.构造函数f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝.由f′(x)＝0得x＝e，当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以[f(x)]max＝f(e)＝＝b，且f(3)>f(8)，即a>c，所以b>a>c，故选A.答案：A11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2－y2＝λ(λ为正常数)上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|·|MN|的值为()A.B.C．λD．无法确定解析：因为M为双曲线上任一点，所以可取M为双曲线的右顶点，由渐近线y＝x知△OMN为等腰直角三角形，此时|OM|＝，|ON|＝|MN|＝，所以|ON|·|MN|＝.答案：B12．[2019·陕西重点中学联考]将函数f(x)＝sinx的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝f(x)＋g(x)的最大值为()A.B．2C.D．2解析：由题可知g(x)＝sin，y＝f(x)＋g(x)＝sin＋sinx＝2sinx－cosx＝sin(x－φ)，所以y＝f(x)＋g(x)的最大值为，故选A.答案：A13．若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是()A．a＋<
1,0log22＝1，，故选B.解法二：(特值法)，令a＝3，b＝，则a＋＝6，log2(a＋b)＝log2<2，＝＝，即a＋>log2(a＋b)>，故选B.答案：B14．[2019·湖南怀化一模]过抛物线y2＝4x的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则四边形ABCD面积的最小值为()A．8B．16C．32D．64解析：显然焦点F的坐标为(1,0)，所以可设...
