第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．若向量BA＝(2，3)，CA＝(4，7)，则BC＝________．[解析]由于BA＝(2，3)，CA＝(4，7)，那么BC＝BA＋AC＝(2，3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．[答案](－2，－4)2．(2018·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(七))已知向量a＝(2，1)，b＝(3，－1)，若a＋2kb与3a－b平行，则k＝________.[解析]因为a＝(2，1)，b＝(3，－1)，所以a＋2kb＝(2，1)＋2k(3，－1)＝(2＋6k，1－2k)，3a－b＝3(2，1)－(3，－1)＝(3，4)，又a＋2kb与3a－b平行，所以4(2＋6k)－3(1－2k)＝0，解得k＝－.[答案]－3．在▱ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2，4)，AC＝(1，3)，则向量BD的坐标为________．[解析]因为AB＋BC＝AC，所以BC＝AC－AB＝(－1，－1)，所以BD＝AD－AB＝BC－AB＝(－3，－5)．[答案](－3，－5)4．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4，3)，PQ＝(1，5)，则BC＝________．[解析]AQ＝PQ－PA＝(－3，2)，所以AC＝2AQ＝(－6，4)．PC＝PA＋AC＝(－2，7)，所以BC＝3PC＝(－6，21)．[答案](－6，21)5．在△ABC中，AN＝AC，P是BN上一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为_______．[解析]因为B，P，N三点共线，所以BP∥PN，设BP＝λPN，即AP－AB＝λ(AN－AP)，AP＝AB＋AN，①又AN＝AC，所以AC＝2AN，所以AP＝mAB＋AC＝mAB＋AN，②结合①②，由平面向量的基本定理可得得m＝.[答案]6．已知非零向量e1，e2，a，b满足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2.给出以下结论：①若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝－2；②若e1与e2不共线，a与b共线，则k＝2；③存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线；④不存在实数k，使得a与b不共线，e1与e2共线．其中正确结论的个数是________个．[解析]若a与b共线，即a＝λb，即2e1－e2＝λke1＋λe2，而e1与e2不共线，所以解得k＝－2.故①正确，②不正确．若a与b不共线，且e1与e2共线，则e2＝λe1，有因为e1，e2，a，b为非零向量，所以λ≠2且λ≠－k，所以a＝b，即a＝b，这时a与b共线，所以不存在实数k满足题意，故③不正确，④正确．综上，正确的结论为①④.[答案]27．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝________.[解析]设向量c＝(x，y)，因为向量4a，3b－2a，c首尾相接能构成三角形，所以4a＋3b－2a＋c＝0，且4a与c不共线．即且4y≠－12x，解得x＝4，y＝－6，即c＝(4，－6)．[答案](4，－6)8．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|BC|＝2|AC|，则向量OB的坐标是________．[解析]由点C是线段AB上一点，|BC|＝2|AC|，得BC＝－2AC.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量OB的坐标是(4，7)．[答案](4，7)9．已知点A(2，3)、B(5，4)、C(7，10)，若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，则当λ的取值满足________时，点P在第三象限．[解析]因为AB＋λAC＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3＋5λ，1＋7λ)．所以AP＝(3＋5λ，1＋7λ)．设P点的坐标为(x，y)，则AP＝(x－2，y－3)，所以所以又因为点P在第三象限，所以即解得λ＜－1，即当λ＜－1时，点P在第三象限．[答案]λ＜－110．给出以下四个命题：①四边形ABCD是菱形的充要条件是AB＝DC，且|AB|＝|AD|；②点G是△ABC的重心，则GA＋GB＋CG＝0；③若AB＝3e1，CD＝－5e1，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是等腰梯形；④若|AB|＝8，|AC|＝5，则3≤|BC|≤13.其中所有正确命题的序号为________．[解析]对于①，当AB＝DC时，则四边形ABCD为平行四边形，又|AB|＝|AD|，故该平行四边形为菱形，反之，当四边形ABCD为菱形时，则AB＝DC，且|AB|＝|AD|，故正确；对于②，若G为△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝0，故不正确；对于③，由条件知CD＝－AB，所以CD∥AB且|CD|>|AB|，又|AD|＝|BC|，故四边形ABCD为等腰梯形，正确；对于④，当AB，AC共线同向时，|BC|＝3，当AB，AC共线反向时，|BC|＝8＋5＝13，当AB，AC不共线时3<|BC|<13，故正确．综上，正确命题为①③④.[答案]①③④11．(2018·徐州调研)已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．求：(1)|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？[解](1)因...
