第13练以函数为背景的创新题型题型一新定义函数名称的问题例1定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为________．破题切入点准确把握严格按照“保等比数列函数”的概念逐个验证．答案①③解析等比数列性质，anan＋2＝a，①f(an)f(an＋2)＝aa＝(a)2＝f2(an＋1)；②f(an)f(an＋2)＝22＝2≠f2(an＋1)；③f(an)f(an＋2)＝＝2＝f2(an＋1)；④f(an)f(an＋2)＝ln|an|ln|an＋2|≠(ln|an＋1|)2＝f2(an＋1)．题型二新定义函数的性质或部分性质问题例2设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得＝C成立(其中C为常数)，则称函数y＝f(x)在D上的均值为C.现在给出下列4个函数：①y＝x3；②y＝4sinx；③y＝lgx；④y＝2x.则在其定义域上的均值为2的所有函数是________．破题切入点如何求均值？按定义，能否使均值为2?答案①③解析经验证，①③是符合题意的；对于②，x2不唯一；对于④，若满足题中的定义，则f(x1)＋f(x2)＝4，f(x2)＝4－f(x1)，由x1的任意性，知f(x2)需满足能取到负值，而这是不可能的．总结提高有关以函数为背景的创新题型，一般是先叙述或新规定一些条件，若满足这些条件则该函数为该类函数或具有该性质，解决办法是根据我们所学过的其他函数的有关意义和性质来逐个验证加以解决，注意严格准确把握新定义．1．设D＝{(x，y)|(x－y)(x＋y)≤0}，记“平面区域D夹在直线y＝－1与y＝t(t∈[－1,1])之间的部分的面积”为S，则函数S＝f(t)的图象的大致形状为________．答案③解析如图，平面区域D为阴影部分，当t＝－1时，S＝0，排除④；当t＝－时，S>Smax，排除①②.2．设函数f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f(x)－g(x)|≤k(k>0)，则称f(x)与g(x)在[a，b]上是“k度和谐函数”，[a，b]称为“k度密切区间”．设函数f(x)＝lnx与g(x)＝在[，e]上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是________．答案[－1，e＋1]解析设h(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－＝－m＋＋lnx，h′(x)＝－＋＝，故当x∈[，1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈[1，e]时，h′(x)≥0，函数h(x)单调递增．所以函数h(x)的最小值为h(1)＝－m＋1，而h()＝－m＋e－1，h(e)＝－m＋＋1，显然e－1>＋1，所以h()>h(e)，故函数h(x)的最大值为h()＝－m＋e－1.故函数h(x)在[，e]上的值域为[－m＋1，－m＋e－1]．由题意，得|h(x)|≤e，即－e≤h(x)≤e，所以解得－1≤m≤1＋e.3．(2014·苏州模拟)对于函数f(x)，若任意的a，b，c∈R，f(a)，f(b)，f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为“可构造三角形函数”．已知函数f(x)＝是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是________．答案[，2]解析因为对任意的实数x1，x2，x3∈R，都存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，故f(x1)＋f(x2)>f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立．由f(x)＝＝1＋，设ex＋1＝m(m>1)，则原函数可化为f(m)＝1＋(m>1)，当t>1时，函数f(m)在(1，＋∞)上单调递减，所以f(m)∈(1，t)，此时2f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立，需t≤2，所以1f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立，需满足2t≥1，所以≤t<1.综上t∈[，2]．4．若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称．则称点对[P，Q]是函数y＝f(x)的一对“友好点对”(点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”)．已知函数f(x)＝则此函数的“友好点对”有________对．答案2解析函数f(x)＝的图象及函数f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A，B两点关于原点的对称点一定在函数f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象上，故函数f(x)的“友好点对”有2对．5．已...
