第3节等比数列【选题明细表】知识点、方法题号等比数列的判定与证明6,11,14等比数列的基本运算1,5,8,10等比数列的性质2,7,9等差、等比数列的综合4,12等比数列与其他知识的综合3,13,15基础对点练(时间:30分钟)1.已知数列{an}是等比数列,a1=,a4=-1,则a6等于(A)(A)-4(B)4(C)-8(D)8解析:设{an}的公比为q,由=q3,得q=-2,所以a6=a1q5=-4.2.(2016哈尔滨六中高三期中)已知数列{an}满足1+log3an=log3an+1(n∈N*),a2+a4+a6=9,则(a5+a7+a9)等于(C)(A)-(B)(C)-5(D)5解析:因为1+log3an=log3an+1(n∈N*),所以3an=an+1,即数列{an}为公比q=3的等比数列,则a5+a7+a9=q3(a2+a4+a6)=243,所以(a5+a7+a9)=243=-5.3.(2015宁夏石嘴山高三联考)在各项均为正数的等比数列{an}中,a2a10=9,则a5+a7(A)(A)有最小值6(B)有最大值6(C)有最大值9(D)有最小值3解析:依题意知,an>0,又a2a10=9,所以a5a7=9.所以a5+a7≥2=6.(当且仅当a5=a7时,取等号)故a5+a7有最小值6.4.(2016南昌二中高三月考)等差数列{an}中,2a3-+2a11=0,数列{bn}为等比数列,且b7=a7,则b6b8的值为(C)(A)4(B)2(C)16(D)8解析:因为数列{an}为等差数列,所以2a7=a3+a11,因为2a3-+2a11=0,所以4a7-=0,因为a7≠0,所以a7=4,因为数列{bn}是等比数列,所以b6b8===16,故选C.5.(2015南昌校级二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则等于(C)(A)4n-1(B)4n-1(C)2n-1(D)2n-1解析:设等比数列{an}的公比为q,所以q==,所以a1+a3=a1(1+q2)=a1(1+)=,解得a1=2,所以an=2×()n-1=()n-2,Sn=,所以==2n-1.6.(2016奉贤区模拟)已知数列{an}的首项a1=1,an+1=3Sn(n∈N*),则下列结论正确的是(B)(A)数列{an}是等比数列(B)数列a2,a3,…,an是等比数列(C)数列{an}是等差数列(D)数列a2,a3,…,an是等差数列解析:由an+1=3Sn(n≥1),得an=3Sn-1(n≥2),两式作差得an+1-an=3an(n≥2),即an+1=4an(n≥2),因为a1=1,an+1=3Sn(n≥1),所以a2=3,所以数列a2,a3,…,an是公比为4的等比数列.7.等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若=,则{an}的通项公式an=.解析:因为=,所以=-,因为S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,所以q5=-,q=-,则an=-1×-n-1=--n-1.答案:-(-)n-18.已知等比数列{an}的公比为正数,且a2·a6=9a4,a2=1,则a1=.解析:由a2·a6=9a4得a2(a2q4)=9a2q2,解得q2=9,所以q=3或q=-3(舍去),所以由a2=a1q,得a1==.答案:9.(2016南昌二中高三上第三次月考)等比数列{an}的公比为q,其前n项的积为Tn,并且满足条件a1>1,a99a100-1>0,<0.给出下列结论:①0
1成立的最大自然数n等于198,其中正确的结论是.解析:①中(a99-1)(a100-1)<0,a1>1,a99a100>1,所以a99>1,01,T199=a1a2…a199=(a1a199)(a2a198)…(a99a101)a100<1,所以④正确.答案:①②④10.(2015扬州期末)等比数列{an}中,Sn是其前n项和,S3=7,S6=63.(1)求an;(2)记数列{Sn}的前n项和为Tn,求Tn.解:(1)若q=1,则S6=2S3,与已知矛盾,所以q≠1,则解得即an=2n-1.(2)由(1),求得Sn=2n-1,于是Tn=21-1+22-1+…+2n-1=-n=2n+1-n-2.11.(2015蓟县期中)已知数列{an}的首项a1=5,Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).(1)证明数列{an+1}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式an.(1)证明:因为Sn+1=2Sn+n+5,所以当n≥2时,Sn=2Sn-1+n-1+5,两式相减可得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1(n≥2),即an+1=2an+1,所以==2,又当n=1时,S2=2S1+1+5=16,所以a2=S2-S1=16-5=11,所以==2,所以数列{an+1}是以6为首项,2为公比的等比数列.(2)解:由(1)知a1+1=6,所以an+1=6×2n-1=3×2n,所以an=3×2n-1.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016哈尔滨校级模拟)数列{an}是公差不为零的等差数列,并且a5,a8,a13是等比数列{bn}的相邻三项.若b2=5,则bn等于(D)(A)5·()n-1(B)5·()n-1(C)3·()n-1(D)3·()n-1解析:因为{an}是公差不为零的等差数列,并且a5,a8,a13是等比数列{bn}的相邻三项,所以(a5+3d)2=a5(a5+8d),所以a5=d,所以q===,因为b2=5,q=,所以b1==3,所以bn=b1qn-1=3·()n-1.13.(2016...
