第131页共7页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第131页共7页§7.3微积分的基本定理定理7.6若函数在有限闭区间上可积,则定义在上的函数(通常称为的变上限的积分)必满足Lipschitz条件,因而是连续函数.证:记.,有,故.□定理7.7若函数在有限闭区间上可积,在处连续,则定义在上的函数在处可导,并且.证明:,使得当时成立故当时成立,即.□定理7.8(微积分的基本定理)若函数在区间上连续,固定,则定义在上的函数是的原函数.证:由定理7.7.□定理7.9(微积分基本定理的另一形式)若是区间上的可导函数,并且的变上限的积分存在,固定,则都成立第132页共7页第131页共7页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第132页共7页.证:由定理7.1的推广.□注记通常也将Newton-Leibniz公式称为微积分的基本定理.微积分的基本定理表明:一、区间上的连续函数一定有原函数,并且原函数之一就是变上限的积分；二、区间上的可导函数可以通过其导函数的变上限的积分来表示(假定导函数的变上限的积分存在).命题若是区间上的连续函数,是区间上的可导函数,满足,则定义在上的函数是可导函数,并且.证:固定,记,则,故.□例设函数在上连续可导(意思是),,并且.求证:.证:令,则.再令,则第133页共7页第132页共7页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第133页共7页.注意到,便知.再注意到,便知,因而在上递增.□练习题7.3()1(2,3),3,4,5,6,7.问题7.3()1,3,4,7.§7.4分部积分法与换元积分法命题1(分部积分法)若函数都在有限闭区间上可导,并且都在上可积,则.证:由Newton-Leibniz公式,对两边积分便得.□例1求,,.解:记,显然.当时有.故.从而；第134页共7页第133页共7页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第134页共7页.□定理7.10(带积分余项的Taylor定理)若函数在区间上阶可导,并且的变上限的积分存在,固定,则,成立等式.称为积分余项.证:.□注记7.带积分余项的Taylor定理也可看作是一种变形的带Cauchy余项的Taylor定理.(对满足介值定理的函数和不变符号的函数应用第一积分中值定理,).定理7.11(能推广到多元函数的换元积分法)若函数在区间上连续,函数在上严格递增,并且,则.第135页共7页第134页共7页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第135页共7页证:由的分割,,自动地确定了的分割,,其中.显然当时必有.由Lagrange中值定理,可取使得,.由严格递增可知,.于是,在等式的两边同时令便得到,即.□定理7.1(仅对1元函数有效的换元积分法)若是区间上的连续函数,是上的函数,并且,则.证:任取在上的原函数,则有.□命题2若函数在上连续,则(1)；(2).第136页共7页第135页共7页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第136页共7页证:(1)作变换,则有.(2)作变换,则有.故.□命题3若是以正数为周期的连续函数,则,成立等式.证:作变换,则有.□命题4(1)若是上的连续奇函数,则；(2)若是上的连续偶函数,则.证:作变换,则有(1).(2).□例2(一个错误的证明)设是开区间上的连续函数,,求证:.第137页共7页第136页共7页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第137页共7页证:(1)(错误的).(2)(正确的)任取在上的原函数,作变换,则有,故.于是,.□练习题7.4()1(3,4,5,6,7,11),4,5,8,9,10,11,13,15.问题7.4()1,2,4.
