实验七生产计划中的产量问题【实验目的】1．介绍无约束最优化方法的一些基本概念。2．了解几种常见的无约束优化问题的求解方法，如迭代算法、最速下降法（梯度法）、牛顿法（Newton）、拟牛顿法。3．学习掌握用MATLAB优化工具箱中的命令来求解无约束优化问题。【实验内容】某公司生产一种产品有甲、乙两个品牌，试讨论产销平衡下的最大利润。所谓产销平衡指公司的产量等于市场上的销量。利润既取决于销量和单件价格，也依赖于产量和单件成本。按照市场规律，甲种品牌的价格p1固然会随其销量x1的增长而降低；同时乙品牌销量x2的增长也会使甲的价格有稍微下降，根据实际情况，可以确定价格与销量成线性关系，即p1＝300－2.35x1－0.09x2乙的价格p2遵循同样的规律，有p2＝480－0.14x1－2.98x2甲品牌的成本会随着其产量的增长而降低，按实际情况可假设为负指数关系，即有q1＝38e−0.023x1＋116乙品牌的成本q2遵循同样的规律，有q2＝94e−0.018x2＋145试确定甲、乙两种品牌的产量，使公司获得的总利润最大。【实验准备】无约束最优化方法是指在没有约束条件限制下，求多变量实值函数极值的方法。无约束最优化问题的数学表达式为minf(x)，x＝（x1，x2，…，xn）∈Rn（1）一般f为非线性函数，x是n维实变量，实际上这是一个多元函数无条件极值问题。由于一个求极大值问题，可以添加负号的方式转化为求极小值问题，因此通常只讨论求极小值问题。应该注意的是，极值问题的解，即极值点，都是局部最优解，全局最优解只能从局部最优解的比较中得到。如何求解无约束最优化问题（1）的最优解呢？一般是采用迭代方法，即先选择一个初始点，再寻找该点处的下降方向，我们称为搜索方向。在该方向上求极小点，得到一个新的点。这个新的点要优于原来的点，即新点处的目标函数值小于原来点处的目标函数值。然后在新点处再寻找下降方向和该方向上求极小点，……，如此下去，最终得到最优点。因此，求解无约束最优化问题需解决两个问题：一是在某些方向上的一维极小点，我们也称为一维搜索；另一个是寻找某些点处的下降方向，这是无约束最优化方法中最重要的一个问题。我们先了解第一个问题最常用的搜索方法。1．求一维极小的二点二次插值方法设d(k)是点x(k)处的一个搜索方向，要在该方向上寻优问题，转化为求一维函数ϕ(α)＝f（x(k)＋d(k)）（2）的求极值问题。最常用的一维搜索方法是插值法，即用某些点的函数值（或导数值）构造插值函数，用插值函数的极小点来近似函数ϕ(α)的极小点。这里介绍一种有效的插值方法，称为二点二次插值方法，即用二点处的函数值和一个点处的导数值构造二次函数，反复用二次函数的极小点来逼近函数ϕ(α)的极小点。算法1二点二次插值法（1）取初始点μ1（如μ1＝0），初始步长α（如α＝1）和步长缩减因子ρ∈（0，1）（如ρ＝0.1），置精度要求ε，并计算ϕ1＝ϕ(μ1)，ϕ1'＝ϕ'(μ1)（2）若ϕ1'＜0，则置α＝|α|；否则置α＝－|α|（3）计算μ2＝μ1＋α和ϕ2＝ϕ(μ2)（4）如果ϕ≤ϕ1＋ϕ1'（μ2－μ1），则置α＝2α，转（3）（5）计算μ＝μ1－ϕ1'(μ2−μ1)22[ϕ2−ϕ1−ϕ1'(μ2−μ1)]，ϕ＝ϕ(μ)，ϕ'＝ϕ'（μ）（6）若|ϕ'|≤ε，则停止计算（μ作为极小点）；否则置μ1＝μ，ϕ1＝ϕ，ϕ1'＝ϕ'，α＝ρα，转（2）2．最速下降法前面介绍了一维搜索的二点二次插值方法，下面讨论如何选择搜索方向的问题，我们先来看看两个概念。定义1称n维向量（∂f∂x1，∂f∂x2，…，∂f∂xn）T为函数f(x)在x处的梯度，记为▽f(x)▽f(x)＝（∂f∂x1，∂f∂x2，…，∂f∂xn）T（3）定义2设d是任意的单位向量，若极限limn→0+f(¯x+ad)−f(¯x)a存在，则称该极限为函数f(x)在¯x处沿方向d的一阶方向导数，简称为方向导数，记为∂∂df(x)，即∂∂df(x)＝limn→0+f(¯x+ad)−f(¯x)a（4）最速下降法的基本思想：选取一点x1作为初始点，计算该点的梯度▽f(x1)，求该点处的最速下降方向，即令d1＝－▽f(x1)，再沿d1方向前进，寻找该方向上的极小点，得到点x2，再计算▽f(x2)，令d2＝－▽f(x2)，沿d2方向前进，得到点x3，如此下去……具体算法如下：算法2最速下降法（1）取初...
