数列求和之奇偶项的讨论【真题+模拟】VIP免费

题型一：数列奇数偶数项问题nn1nn11)1(1nn)1(1nn【真题再现】1、（2011，山东，文20）等比数列na中，123,,aaa分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,aaa中的任何两个数不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）若数列nb满足：(1)lnnnnnbaa，求数列nb的前2n项和2nS．解析：（I）当13a时，不合题意；当12a时，当且仅当236,18aa时，符合题意；当110a时，不合题意。因此1232,6,18,aaa所以公式q=3，故123.nna（II）因为(1)lnnnnnbaa111123(1)(23)23(1)[ln2(1)ln3]23(1)(ln2ln3)(1)ln3,nnnnnnnnnn所以21222122(133)[111(1)](ln2ln3)nnnnSbbbLLL2|[123(1)2]ln3nnL22132ln3133ln31.nnnn2、（2011，山东，理20）等比数列{}na中，123,,aaa分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,aaa中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nb满足：(1)lnnnnnbaa求数列{}nb的前n项和nS.解析：（1）当13a时，不合题意；当12a时，当且仅当236,18aa时，符合题意；当110a时，不合题意；因此1232,6,18aaa，所以公比3q故123nnag（2）因为1111(1)ln=23+(1)ln23=23+(1)ln2(1)ln3=23+(1)(ln2ln3)(1)ln3nnnnnnnnnnnnbaanngggg（）所以n-12(13+3)111+(1)(ln2ln3)123+(1)ln3nnnSn⋯⋯⋯所以当n为偶数时，132ln33ln311322nnnnnS当n为奇数时，1312(ln2ln3)()ln313213ln3ln212nnnnSnn综上所述，3ln31213ln3ln212nnnnnSnn为偶数为奇数3、（2014，山东，文19）在等差数列{}na中，已知公差2d，2a是1a与4a的等比中项.（Ｉ）求数列{}na的通项公式；（II）设(1)2nnnba，记1234(1)nnnTbbbbb⋯，求nT.解析：（Ⅰ）由题意知：na为等差数列，设dnaan11，2a为1a与4a的等比中项4122aaa且01a，即daada31121，2d解得：21annan22)1(2（Ⅱ）由（Ⅰ）知：nan2，)1(2)1(nnabnnn①当n为偶数时：222222642222624221153431214332212nnnnnnnnnnnTn②当n为奇数时：212122112211642212126242212153431214332212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnTn综上：为偶数为奇数，nnnnnnTn,22212224、（2014，山东，理19）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－14nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2×12×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋4×32×2＝4a1＋12，由题意，得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.(2)bn＝(－1)n－14nanan＋1＝(－1)n－14n2n－12n＋1＝(－1)n－1(12n－1＋12n＋1)．当n为偶数时，Tn＝(1＋13)－(13＋15)＋⋯＋(12n－3＋12n－1)－(12n－1＋12n＋1)＝1－12n＋1＝2n2n＋1.当n为奇数时，Tn＝(1＋13)－(13＋15)＋⋯－(12n－3＋12n－1)＋(12n－1＋12n＋1)＝1＋12n＋1＝2n＋22n＋1.所以Tn＝2n＋22n＋1，n为奇数，2n2n＋1，n为偶数.(或Tn＝2n＋1＋－1n－12n＋1)【模拟题库】1、（2016届济宁一模，理19）已知等差数列na的前n项和为nS，且152,30aS.数列nb的前n项和为nT，且21nnT.（I）求数列na、nb的通项公式；（II）设1lnnnnnncabS，求数列nc的前n项和.解析：（Ⅰ）记等差数列{an}的公差为d，依题意，S5=5a1+d=30，又 a1=2，∴d==2，∴数列{an}的通项公式an=2n； Tn=2n﹣1，∴Tn﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2），两式相减得：bn=2n﹣1，又 b1=T1=21﹣1=1满足上式，∴数列{bn}的通项公式bn=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知anbn=n?2n，Sn=2?=n（n+1），∴cn=（﹣1）n（anbn+lnSn）=n（﹣2）n+（﹣1）n[lnn+ln（n+1）]，记数列{（﹣1）nanbn}的前n项和为An，数列{（﹣1）nlnSn}的前n项和为Bn，则An=1?（﹣2）1+2?（﹣2）2+3?（﹣2）3+⋯+n?（﹣2）n，﹣2An=1?（﹣2）2+2?（﹣2）3+⋯+（n﹣1）?（﹣2）n+n?（﹣2）n+1，错位相减得：3An=（﹣2）1+（﹣2）2+（﹣2）3+⋯+（﹣2）n﹣n?（﹣2）n+1=﹣n?（﹣2）n+1=﹣﹣?（﹣2）n+1，∴An=﹣﹣?（﹣2）n+1；当n为偶数时，Bn=﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）﹣（ln3+ln4）+⋯+[lnn+ln（n+1）]=ln（n+1）﹣ln1=ln（n+1），当n为奇数时，Bn=﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）...