第1页二次根式知识点总结及常见题型资料编号:20190802一、二次根式的定义形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号,a叫做被开方数.（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围;（2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断:①是否含有二次根号“”;②被开方数是否为非负数.若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式.（3）形如am（a≥0）的式子也是二次根式,其中m叫做二次根式的系数,它表示的是:amam（a≥0）;（4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式BA与AB都有意义,则有BA.二、二次根式的性质二次根式具有以下性质:（1）双重非负性:a≥0,a≥0;（主要用于字母的求值）（2）回归性:aa2（a≥0）;（主要用于二次根式的计算）（3）转化性:)0()0(2aaaaaa.（主要用于二次根式的化简）重要结论:（1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.若02CBA,则0,0,0CBA.应用与书写规范: 02CBA,A≥0,2B≥0,C≥0∴0,0,0CBA.该性质常与配方法结合求字母的值.第2页（2）BAABBABABABA2;主要用于二次根式的化简.（3）0022ABAABABA,其中B≥0;该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的.（4）BABA22,其中B≥0.该结论主要用于二次根式的计算.例1.式子11x在实数范围内有意义,则x的取值范围是_________.分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0.解:由二次根式有意义的条件可知:01x,∴1x.例2.若yx,为实数,且2111xxy,化简:11yy.分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式BA与AB都有意义,则有BA.解: 1x≥0,x1≥0∴x≥1,x≤1∴1x∴1212100y∴11111yyyy.习题1.如果53a有意义,则实数a的取值范围是__________.习题2.若233xxy,则yx_________.习题3.要使代数式x21有意义,则x的最大值是_________.习题4.若函数xxy21,则自变量x的取值范围是__________.习题5.已知128123aab,则ba_________.第3页例3.若04412bba,则ab的值等于【】（A）2（B）0（C）1（D）2分析:本题考查二次根式的非负性以及结论:若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0.解: 04412bba∴0212ba 1a≥0,22b≥0∴02,01ba∴2,1ba∴221ab.选择【D】.例4.无论x取任何实数,代数式mxx62都有意义,则m的取值范围是__________.分析:无论x取任何实数,代数式mxx62都有意义,即被开方数mxx62≥0恒成立,所以有如下两种解法:解法一:由题意可知:mxx62≥0 93622mxmxx≥0∴23x≥m9 23x≥0∴m9≤0,∴m≥9.解法二:设mxxy62 无论x取任何实数,代数式mxx62都有意义∴mxxy62≥0恒成立即抛物线mxxy62与x轴最多有一个交点∴mm436462≤0解之得:m≥9.例5.已知cba,,是△ABC的三边长,并且满足ccba20100862,试判断△ABC第4页的形状.分析:非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值.解: ccba20100862∴010020862ccba∴010862cba 6a≥0,8b≥0,210c≥0∴010,08,06cba∴10,8,6cba 10010,10086222222cba∴222cba∴△ABC为直角三角形.习题6.已知实数yx,满足084yx,则以yx,的值为两边长的等腰三角形的周长为【】（A）20或16（B）20（C）16（D）以上答案均不对习题7.当x_________时,119x取得最小值,这个最小值为_________.习题8.已知24422xxxy,则yx的值为_________.习题9.已知非零实数ba,满足ababaa415316822,求1ba的值.提示:由152ba≥0,且012b可得:5a≥0,∴a≥5.第5页例6.计算:（1）26;（2）232x;（3）2323.分析:本题考查二次根式的性质:aa2（a≥0）.该性质主要用于二次根式的计算.解:（1）662;（2）32322xx;（3）6329323323222.注意:BABA22,其中B≥0.该结论主要用于二次根式的计算.例7.化简:（1）225;（2）2710;（3）962xx3x.分析:本题考查二次根式的性质:)0()0(2aaaaaa.该性质主要用于二次根式的化简.解:（1）2525252;（2）7107107102;（3）339622xxxx 3x∴原式x3.注意:结论:BAABBABABABA2.该结论主要用于二次根式和绝对值的化简.例8.当3x有意义时,化简:22125xxx.解: 二次根式3x有意义∴3x≥0∴x≥3第6页xy图（1）O∴22125xxx23125125xxxxxxx例9.化简:2223xx....
