双曲线知识点归纳总结VIP专享VIP免费

第二章双曲线双曲线标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222babyax标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222babxay定义第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12FF）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。aMFMFM221212FFa第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当1e时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（1e）叫做双曲线的离心率。范围xa，yRya，xR对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点(0,0)O焦点坐1(,0)Fc2(,0)Fc1(0,)Fc2(0,)FcxyP1F2FxyPxyP1F2FxyxyP1F2FxyxyP1F2FxyP标焦点在实轴上，22cab；焦距：122FFc顶点坐标（a,0）(a,0)(0,a,)(0，a)离心率eace(1)准线方程cax2cay2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22顶点到准线的距离顶点1A（2A）到准线1l（2l）的距离为caa2顶点1A（2A）到准线2l（1l）的距离为aca2焦点到准线的距离焦点1F（2F）到准线1l（2l）的距离为cac2焦点1F（2F）到准线2l（1l）的距离为cca2渐近线方程xabyxbay共渐近线的双曲线系方程kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）1.双曲线的定义①当|MF1|－|MF2|=2a时，则表示点M在双曲线右支上；当aMFMF212时，则表示点M在双曲线左支上；②注意定义中的“（小于12FF）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。若2a=2c时，即2121FFMFMF,当2121FFMFMF，动点轨迹是以2F为端点向右延伸的一条射线；当2112FFMFMF时，动点轨迹是以1F为端点向左延伸的一条射线；若2a＞2c时，动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.3.双曲线的内外部(1)点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab.(2)点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab.4.形如)0(122ABByAx的方程可化为11122ByAx当01,01BA，双曲线的焦点在y轴上；当01,01BA，双曲线的焦点在x轴上；5.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.6.离心率与渐近线之间的关系222222221ababaace1）21abe2）12eab7.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220xyabxaby.A2F24(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.(4)与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程是2222byax)0((5)与双曲线12222byax共焦点的双曲线系方程是12222kbykax(6)当时ba离心率2e两渐近线互相垂直，分别为y=x，此时双曲线为等轴双曲线，可设为22yx；8.双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)Pxy处的切线方程是00221xxyyab.（2）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是00221xxyyab.（3）双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222AaBbc.9.直线与双曲线的位置关系直线l：)0(mmkxy双曲线C：12222byax（a＞0，b＞0）12222byaxmkxy02)(222222222bamamkxaxkab1)当0222kab，即abk时，直线l与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C相交于一点；2)当b2-a2k2≠0，即abk时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)①0时，直线l与双曲线相交，有两个公共点②0时，直线l与双曲线相切，有且仅有一个公共点③0时，直线l与双曲线相离，无公共点3)直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗为什么（不一定）10.关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法直线l：)0(mmkxy双曲线C：12222byax（a＞0，b＞0）①联立方程法：12222byaxmkxy02)(222222222bamamkxaxkab设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0,以及2121,xxxx，还可进一步求出mxxkmkxmkxyy2)(212121，2212122121)())((mxxkmxxkmkxmkxyy在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦AB的弦长2122122124)(11xxxxkxxkABak21或2122122124)(1111yyyykyykABak21b.中点),(00yxM,2210xxx，2210yyy②点差法：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入双曲线方程，得1221221byax1222222byax将两式相减，可得2212122121))(())((byyyyaxxxx)()(2122122121yyaxxbxxyya.在涉及斜率问题时，)()(212212yyaxxbkABb.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为),(00yxM，02020202212122yaxbyaxbxxyy??，即0202yaxbkAB，11.焦点三角形面积公式：)(,2tan21221PFFbSPFF。