奥林匹克数学中的几何问题第1章梅涅劳斯定理及应用VIP专享VIP免费

第一章涅劳斯定理及应用【基础知识】梅涅劳斯定理设A，B，C分别是ABC△的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若A，B，C三点共线，则1BACBACABBACB．①C′B′A'A′B′C′ADCBDCB图1-1A证明如图11-，过A作直线ADCA∥交BC的延长线于D，则CBCABAAD，ACDACBAB，故1BACBACBACADAACBACBACADAB．注此定理的证明还有如下正弦定理证法及面积证法．正弦定理证法设BCA∠，CBA∠，BAB∠，在BAC△中，有sinsinBACB，同理，sinsinCBCA，sinsinACAB，此三式相乘即证．面积证法由ACBACCSBAACS△△，CBCCABCBCCABCCABACAABBACAABACASSSSSCBBASSSSS△△△△△△△△△△，ACACBASACCBS△△，此三式相乘即证．梅涅劳斯定理的逆定理设A，B，C分别是ABC△的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若1BACBACACBACB，②则A，B，C三点共线．证明设直线AB交AB于1C，则由梅涅劳斯定理，得到111ACBACBACBACA．由题设，有1BACBACACBACB，即有11ACACCBCB．又由合比定理，知1ACACABAB，故有1ACAC，从而1C与C重合，即A，B，C三点共线．有时，也把上述两个定理合写为：设A，B，C分别是ABC△的三边BC，CA，AB所在直线（包括三边的延长线）上的点，则A，B，C三点共线的充要条件是1BACBACACBACB．上述①与②式是针对ABC△而言的，如图11-（整个图中有4个三角形），对于CBA△、BCA△、ACB△也有下述形式的充要条件：1CABCABABCABC；1BACBACACBACB；1ABCABCBCABCA．③第一角元形式的梅涅劳斯定理设A，B，C分别是ABC△的三边BC，CA，AB所在直线（包括三边的延长线）上的点，则A，B，C共线的充分必要条件是sinsinsin1sinsinsinBAAACCCBBAACCCBBBA∠∠∠∠∠∠．④CBA′B'C'图1-2A证明如图12-，可得1sin21sin2ABAAACABAABAASBAACSAAACAAC△△∠∠sinsinABBAAACAAC∠∠．同理，sinsinCBBCCBBBAABBBA∠∠，sinsinACACACCCBBCCCB∠∠．以上三式相乘，运用梅涅劳斯定理及其逆定理，知结论成立．第二角元形式的梅涅劳斯定理设A，B，C分别是ABC△的三边BC，CA，AB所在直线上的点，点O不在ABC△三边所在直线上，则A，B，C三点共线的充要条件是sinsinsin1sinsinsinBOACOBAOCAOCBOACOB∠∠∠∠∠∠．⑤A′OCBB'C'A图1-3证明如图13-，由BOAAOCSBASAC△△，有sinsinBOAOCBAAOCOBAC∠∠．同理，sinsinCOBOACBBOAOCBA∠∠，sinsinAOCOBACCOBOACB∠∠．于是sinsinsinsinsinsinBOACOBAOCBACBACAOCBOACOBACBACB∠∠∠∠∠∠．故由梅涅劳斯定理知A，B，C共线1BACBACACBACB．从而定理获证．注（1）对于④、⑤式也有类似③式（整个图中有4个三角形）的结论．（2）于在上述各定理中，若采用有向线段或有向角，则①、②、③、④、⑤式中的右端均为1-，③、④、⑤式中的角也可以按①或②式中的对应线段记忆．特别要注意的是三边所在直线上的点为一点或者三点在边的延长线上．【典型例题与基本方法】1．恰当地选择三角形及其截线（或作出截线），是应用梅涅劳斯定理的关键例1如图14-，在四边形ABCD中，ABD△，BCD△，△ABC的面积比是3∶4∶1，点M，N分别在AC，CD上，满足AM∶ACCN∶CD，并且B，M，N共线．求证：M与N分别是AC和CD的中点．（1983年全国高中联赛题）EDCBMNA图1-4证明设AMCNrACCD（01r），AC交BD于E．Q341ABDBCDABCSSS△△△∶∶∶∶，17BEBD，37AEAC．37371771AMAErEMAMAErACACAMMCACAMrrAC--------．又因B，M，N三点共线，可视BMN为△CDE的截线，故由梅涅劳斯定理，得1CNDBEMNDBEMC，即77311177rrrr---．化简整理，得2610rr--，解得12r，13r-（舍去）．故M与N分别是AC和CD的中点．例2如图1-5，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD∠，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：GACEAC∠∠．（1999年全国高中联赛题）G'B'GFEDCBA图1-5证明记BACCAD∠∠，GAC∠，EAC∠，直线GFD与△BCE相截，由梅涅劳斯定理，有1ABGAEFAEDABFSSBGCDEFGCDEFBSS△△△△sin()sinsinsinsin()sinABACAEACAEAB--sin()sinsinsin()--．故sin()sinsin()sin--．即sincossincossinsinsincossincossinsin--，亦即sincossinsinsincossin()0πk--，且k只可能为0，故GAC∠EAC∠．例3设E、F分别为四边形ABCD的边BC、CD上的点，BF与DE交于点P．若BAEFAD∠∠，则BAPCAD∠∠...