数列单调性问题的研究VIP免费

专题：数列单调性问题的研究一、问题提出问题1：若32nnan（其中为实常数），*Nn，且数列na为单调递增数列，则实数的取值范围为__________.问题2：数列na满足352nnan（为实常数），其中*Nn，且数列na为单调递增数列，则实数的取值范围为__________.问题3：通项公式为2naann的数列na，若满足12345aaaaa，且1nnaa对8n恒成立，则实数a的取值范围是__________.问题4：数列na满足20122011nnan（*Nn），最小项为第_______项；最大项为第______项问题5：数列na满足172nnan（为实常数，*Nn），最大项为8a，最小项为9a，则实数的取值范围为__________.问题6：数列na的通项公式为knknan2，若对任意正整数n，43aaan均成立，则实数k的取值范围是______________二、思考探究探究1：已知ba,为两个正数，且ba，设21baa，abb1，当2n且*Nn时，211nnnbaa，11nnnbab（1）证明：数列}{na为单调递减数列；数列}{nb为单调递增数列（2）证明：)(2111nnnnbaba探究2：数列{an}满足：a1=5，an+1－an=2(an+1＋an)＋15，数列{bn}的前n项和为Sn满足：Sn=2(1－bn)．（1）证明：数列{an+1－an}是一个等差数列，并求出数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的通项公式，并求出数列{anbn}的最大项．解：（1）令n=1得a2－5=2(a2＋5)＋15，解得a2=12，由已知得(an+1－an)2=2(an+1＋an)＋15①(an+2－an+1)2=2(an+2＋an+1)＋15②将②－①得(an+2－an)(an+2－2an+1＋an)=2(an+2－an)，由于数列{an}单调递增，所以an+2－an≠0，于是an+2－2an+1＋an=2，即(an+2－an+1)－(an+1－an)=2，所以{an+1－an}是首项为7，公差为2的等差数列，于是an+1－an=7＋2(n－1)=2n＋5，所以an=(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋⋯＋(a2－a1)＋a1=(2n＋3)＋(2n＋1)＋⋯＋7＋5=n(n＋4)．（2）在Sn=2(1－bn)中令n=1得b1=2(1－b1)，解得b1=23，因为Sn=2(1－bn)，Sn+1=2(1－bn+1)，相减得bn+1=－2bn+1＋2bn，即3bn+1=2bn，所以{bn}是首项和公比均为23的等比数列，所以bn=(23)n．从而anbn=n(n＋4)(23)n．设数列{anbn}的最大项为akbk，则有k(k＋4)(23)k≥(k＋1)(k＋5)(23)k+1，且k(k＋4)(23)k≥(k－1)(k＋3)(23)k-1，所以k2≥10，且k2－2k－9≤0，因为k是自然数，解得k=4．所以数列{anbn}的最大项为a4b4=51281．探究3：已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S2n＝3n2an＋S2n－1，an≠0，n≥2，n∈N*．（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{an}是递增数列．解：（1）在S2n＝3n2an＋S2n－1中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，因为an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a．因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝3n(n＋1)2，Sn－1＝3n(n－1)2满足S2n＝3n2an＋S2n－1．（2）由S2n＝3n2an＋S2n－1，得S2n－S2n－1＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，①所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)即数列a2，a4，a6，⋯，及数列a3，a5，a7，⋯都是公差为6的等差数列，因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．所以an＝a，n＝1，3n＋2a－6，n为奇数且n≥3，3n－2a＋6，n为偶数，要使数列{an}是递增数列，须有a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，即a＜12－2a，3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，解得94＜a＜154．所以M＝(94，154)，当a∈M时，数列{an}是递增数列．探究4：首项为正数的数列na满足))(3(41*21Nnaann，若对一切*Nn都有nnaa1，则1a的取值范围是______________.,31,0探究5：（1）已知数列na满足11a，21aa，*1||2()nnnaanN，若数列21na单调递减，数列2na单调递增，则数列na的通项公式为na.解：(2)13n（说明：本答案也可以写成21,321,3nnnn为奇数为偶数）方法一：先采用列举法得1234541,1,3,5,11,21,aaaaaa，然后从数字的变化上找规律，得1...