专题:数列单调性问题的研究一、问题提出问题1:若32nnan(其中为实常数),*Nn,且数列na为单调递增数列,则实数的取值范围为__________.问题2:数列na满足352nnan(为实常数),其中*Nn,且数列na为单调递增数列,则实数的取值范围为__________.问题3:通项公式为2naann的数列na,若满足12345aaaaa,且1nnaa对8n恒成立,则实数a的取值范围是__________.问题4:数列na满足20122011nnan(*Nn),最小项为第_______项;最大项为第______项问题5:数列na满足172nnan(为实常数,*Nn),最大项为8a,最小项为9a,则实数的取值范围为__________.问题6:数列na的通项公式为knknan2,若对任意正整数n,43aaan均成立,则实数k的取值范围是______________二、思考探究探究1:已知ba,为两个正数,且ba,设21baa,abb1,当2n且*Nn时,211nnnbaa,11nnnbab(1)证明:数列}{na为单调递减数列;数列}{nb为单调递增数列(2)证明:)(2111nnnnbaba探究2:数列{an}满足:a1=5,an+1-an=2(an+1+an)+15,数列{bn}的前n项和为Sn满足:Sn=2(1-bn).(1)证明:数列{an+1-an}是一个等差数列,并求出数列{an}的通项公式;(2)求数列{bn}的通项公式,并求出数列{anbn}的最大项.解:(1)令n=1得a2-5=2(a2+5)+15,解得a2=12,由已知得(an+1-an)2=2(an+1+an)+15①(an+2-an+1)2=2(an+2+an+1)+15②将②-①得(an+2-an)(an+2-2an+1+an)=2(an+2-an),由于数列{an}单调递增,所以an+2-an≠0,于是an+2-2an+1+an=2,即(an+2-an+1)-(an+1-an)=2,所以{an+1-an}是首项为7,公差为2的等差数列,于是an+1-an=7+2(n-1)=2n+5,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+⋯+(a2-a1)+a1=(2n+3)+(2n+1)+⋯+7+5=n(n+4).(2)在Sn=2(1-bn)中令n=1得b1=2(1-b1),解得b1=23,因为Sn=2(1-bn),Sn+1=2(1-bn+1),相减得bn+1=-2bn+1+2bn,即3bn+1=2bn,所以{bn}是首项和公比均为23的等比数列,所以bn=(23)n.从而anbn=n(n+4)(23)n.设数列{anbn}的最大项为akbk,则有k(k+4)(23)k≥(k+1)(k+5)(23)k+1,且k(k+4)(23)k≥(k-1)(k+3)(23)k-1,所以k2≥10,且k2-2k-9≤0,因为k是自然数,解得k=4.所以数列{anbn}的最大项为a4b4=51281.探究3:已知数列{an}的首项a1=a,Sn是数列{an}的前n项和,且满足:S2n=3n2an+S2n-1,an≠0,n≥2,n∈N*.(1)若数列{an}是等差数列,求a的值;(2)确定a的取值集合M,使a∈M时,数列{an}是递增数列.解:(1)在S2n=3n2an+S2n-1中分别令n=2,n=3,及a1=a得(a+a2)2=12a2+a2,(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2,因为an≠0,所以a2=12-2a,a3=3+2a.因为数列{an}是等差数列,所以a1+a3=2a2,即2(12-2a)=a+3+2a,解得a=3.经检验a=3时,an=3n,Sn=3n(n+1)2,Sn-1=3n(n-1)2满足S2n=3n2an+S2n-1.(2)由S2n=3n2an+S2n-1,得S2n-S2n-1=3n2an,即(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3n2an,即(Sn+Sn-1)an=3n2an,因为an≠0,所以Sn+Sn-1=3n2,(n≥2),①所以Sn+1+Sn=3(n+1)2,②②-①,得an+1+an=6n+3,(n≥2).③所以an+2+an+1=6n+9,④④-③,得an+2-an=6,(n≥2)即数列a2,a4,a6,⋯,及数列a3,a5,a7,⋯都是公差为6的等差数列,因为a2=12-2a,a3=3+2a.所以an=a,n=1,3n+2a-6,n为奇数且n≥3,3n-2a+6,n为偶数,要使数列{an}是递增数列,须有a1<a2,且当n为大于或等于3的奇数时,an<an+1,且当n为偶数时,an<an+1,即a<12-2a,3n+2a-6<3(n+1)-2a+6(n为大于或等于3的奇数),3n-2a+6<3(n+1)+2a-6(n为偶数),解得94<a<154.所以M=(94,154),当a∈M时,数列{an}是递增数列.探究4:首项为正数的数列na满足))(3(41*21Nnaann,若对一切*Nn都有nnaa1,则1a的取值范围是______________.,31,0探究5:(1)已知数列na满足11a,21aa,*1||2()nnnaanN,若数列21na单调递减,数列2na单调递增,则数列na的通项公式为na.解:(2)13n(说明:本答案也可以写成21,321,3nnnn为奇数为偶数)方法一:先采用列举法得1234541,1,3,5,11,21,aaaaaa,然后从数字的变化上找规律,得1...