必修五数列求和题型归纳VIP免费

数列求和1．公式法直接利用等差、等比数列的求和公式求和．（1）等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.（2）等比数列的前n项和公式Sn＝na1，q＝1，a1－anq1－q＝a11－qn1－q，q≠1.例1．一个球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是()A．100＋200(1－2－9)B．100＋100(1－2－9)C．200(1－2－9)D．100(1－2－9)【答案】A[第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋⋯＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋⋯＋2－9)＝100＋200×2－11－2－91－2－1＝100＋200(1－2－9)．]2．分组转化法把数列转化为几个等差、等比数列，再求解．分组转化法求和的常见类型：(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．(2)通项公式为an＝bn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．3．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例2、(2019·山东青岛月考)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n2，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．解(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n2－n－12＋n－12＝n.a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋⋯＋22n)＋(－1＋2－3＋4－⋯＋2n)．记A＝21＋22＋⋯＋22n，B＝－1＋2－3＋4－⋯＋2n，则A＝21－22n1－2＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋⋯＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.[变式探究]本例(2)中，求数列{bn}的前n项和Tn.解由(1)知bn＝2n＋(－1)nn.当n为偶数时，Tn＝(21＋22＋⋯＋2n)＋[－1＋2－3＋4－⋯－(n－1)＋n]＝2－2n＋11－2＋n2＝2n＋1＋n2－2；当n为奇数时，Tn＝(21＋22＋⋯＋2n)＋[－1＋2－3＋4－⋯－(n－2)＋(n－1)－n]＝2n＋1－2＋n－12－n＝2n＋1－n2－52.∴Tn＝2n＋1＋n2－2，n为偶数，2n＋1－n2－52，n为奇数.练习、(2019·四川巴中质检)在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.解(1)设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，∴d＝－3，∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1，∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.(2) 数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，∴an＋bn＝qn－1，即－3n＋2＋bn＝qn－1，∴bn＝3n－2＋qn－1，∴Sn＝[1＋4＋7＋⋯＋(3n－2)]＋(1＋q＋q2＋⋯＋qn－1)＝n3n－12＋(1＋q＋q2＋⋯＋qn－1)．当q＝1时，Sn＝n3n－12＋n＝3n2＋n2；当q≠1时，Sn＝n3n－12＋1－qn1－q.4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．裂项法求和在高考中经常考查，多以解答题的形式考查，并且往往出现在第二问，难度属中低档．（1）常见的裂项公式①1nn＋1＝1n－1n＋1；②12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；③1n＋n＋1＝n＋1－n.（2）利用裂项相消法求和的注意事项1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．3)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则1anan＋1＝1d1an－1an＋1，1anan＋2＝12d1an－1an＋2.考点一：形如an＝1n＋kn＋p的数列求和例3、(2019·山东威海月考)已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和．解(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由已知得2a2＋a3＋a5＝4a1＋8d＝20，10a1＋10×92d＝10a1＋45d＝100，解得a1＝1，d＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)bn＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，所以Tn＝121－13＋13－15＋⋯＋12n－1－12n＋1＝121－12...