数列求和1.公式法直接利用等差、等比数列的求和公式求和.(1)等差数列的前n项和公式Sn=na1+an2=na1+nn-12d.(2)等比数列的前n项和公式Sn=na1,q=1,a1-anq1-q=a11-qn1-q,q≠1.例1.一个球从100m高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下,当它第10次着地时,经过的路程是()A.100+200(1-2-9)B.100+100(1-2-9)C.200(1-2-9)D.100(1-2-9)【答案】A[第10次着地时,经过的路程为100+2(50+25+⋯+100×2-9)=100+2×100×(2-1+2-2+⋯+2-9)=100+200×2-11-2-91-2-1=100+200(1-2-9).]2.分组转化法把数列转化为几个等差、等比数列,再求解.分组转化法求和的常见类型:(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,则可采用分组求和法求{an}的前n项和.(2)通项公式为an=bn,n为奇数,cn,n为偶数的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.3.并项求和法一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.例2、(2019·山东青岛月考)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n2,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.解(1)当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n2-n-12+n-12=n.a1也满足an=n,故数列{an}的通项公式为an=n.(2)由(1)知an=n,故bn=2n+(-1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+⋯+22n)+(-1+2-3+4-⋯+2n).记A=21+22+⋯+22n,B=-1+2-3+4-⋯+2n,则A=21-22n1-2=22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+⋯+[-(2n-1)+2n]=n.故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.[变式探究]本例(2)中,求数列{bn}的前n项和Tn.解由(1)知bn=2n+(-1)nn.当n为偶数时,Tn=(21+22+⋯+2n)+[-1+2-3+4-⋯-(n-1)+n]=2-2n+11-2+n2=2n+1+n2-2;当n为奇数时,Tn=(21+22+⋯+2n)+[-1+2-3+4-⋯-(n-2)+(n-1)-n]=2n+1-2+n-12-n=2n+1-n2-52.∴Tn=2n+1+n2-2,n为偶数,2n+1-n2-52,n为奇数.练习、(2019·四川巴中质检)在等差数列{an}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an+bn}是首项为1,公比为q的等比数列,求{bn}的前n项和Sn.解(1)设等差数列{an}的公差为d,则a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,∴d=-3,∴a2+a7=2a1+7d=-23,解得a1=-1,∴数列{an}的通项公式为an=-3n+2.(2) 数列{an+bn}是首项为1,公比为q的等比数列,∴an+bn=qn-1,即-3n+2+bn=qn-1,∴bn=3n-2+qn-1,∴Sn=[1+4+7+⋯+(3n-2)]+(1+q+q2+⋯+qn-1)=n3n-12+(1+q+q2+⋯+qn-1).当q=1时,Sn=n3n-12+n=3n2+n2;当q≠1时,Sn=n3n-12+1-qn1-q.4.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.裂项法求和在高考中经常考查,多以解答题的形式考查,并且往往出现在第二问,难度属中低档.(1)常见的裂项公式①1nn+1=1n-1n+1;②12n-12n+1=1212n-1-12n+1;③1n+n+1=n+1-n.(2)利用裂项相消法求和的注意事项1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项.2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.3)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如:若{an}是等差数列,则1anan+1=1d1an-1an+1,1anan+2=12d1an-1an+2.考点一:形如an=1n+kn+p的数列求和例3、(2019·山东威海月考)已知等差数列{an}中,2a2+a3+a5=20,且前10项和S10=100.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=1anan+1,求数列{bn}的前n项和.解(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.由已知得2a2+a3+a5=4a1+8d=20,10a1+10×92d=10a1+45d=100,解得a1=1,d=2,所以数列{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1.(2)bn=12n-12n+1=1212n-1-12n+1,所以Tn=121-13+13-15+⋯+12n-1-12n+1=121-12...