《初等数论》本科一填空题（每空2分）1.写出30以内的所有素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29.2.,(,)(,)(,)abababab设是任意两个不为零的整数,则1.3.若,ab是非零整数,则a与b互素的充要条件是存在整数,xy,适1axby4.写出180的标准分解式是22235,其正约数个数有(2+1)(2+1)(1+1)=18个.5.,1,2,,ababL设与是正整数则在中能被整除的整数恰有[]ab个.6.设,ab是非零整数,c是整数,方程axbyc有整数解(,xy)的充要条件是(,)|abc7.若整数集合A是模m的完全剩余系,则A中含有m个整数.8.(3)=2;(4)=2.9.当p素数时,(1)()p1p;(2)()kp1kkpp.10.(),(,)1,1mmama设是正整数则0(mod).m11.,,ppaaa设是素数则对于任意的整数有0(mod).p12.已知235(mod7)x,则x1(mod7).13.同余方程22(mod7)x的解是4(mod7).14.同余方程2310120(mod9)xx的解是.X=6..15.(,)1np若,np是模的二次剩余的充要条件是-121(mod).pnp.16.(,)1np若,np是模的二次非剩余的充要条件是-121(mod).pnp.17.3()=5-1;4()=51.18.,p设是奇素数则2()p218(1).p.19.,p设是奇素数则1()p1;-1()p-12(-1).p.20.5()=91;2()=45-1.二判断题(判断下列结论是否成立，每题2分).1.||,|abacxyZabxcy且对任意的有.成立2.(,)(,),[,][,]abacabac若则.不成立3.23|,|abab若则.不成立4.(mod),0,(mod).abmkkNakbkmk成立5.(mod)(mod).acbcmabm不成立6.22(mod),(mod)(mod)abmabmabm若则或至少有一个成立.不成立7.222(mod),(mod)abmabm若则.不成立8.若x通过模m的完全剩余系,则xb(b是整数)通过模m的完全剩余系.成立9.1212{,,,}{,,,}.mmaaabbbLL若与都是模m的完全剩余系不成立1122{,,,}.mmabababmL则也是模的完全剩余系不成立10.若(,)1am,x通过模m的简化剩余系,则axb也通过模m的简化剩余系.不成立11.12121212,,(,)1,()()().mmNmmmmmm若则成立12.同余方程24330(mod15)xx和同余方程2412120(mod15)xx是同解的.成立13.(mod).axbmaxmyb同余方程等价于不定方程成立14.2,(mod),()1.amxamm当是奇素数时若有解则成立15.2,()1,(mod).amxamm当不是奇素数时若则方程一定有解不成立三计算题1.(1859,1573)求.（6分）解：1.(1859,1573)(1859,1573)(286,1573)(286,15732865)(286,143)(0,143)1432.求[-36,108,204].（8分）解：22232232.[36,108,204][36,108,204],3623,10823,2042317,[36,108,204]23171836.Q3.求(125,17),以及x,y,使得125x+17y=(125,17).（10分）解：3.651,16-56-(17-26)36-173(125-177)-173125-2217.1253-17221,3,-22.xy由等式起逐步回代得4.求整数x,y,使得1387x-162y=(1387,162).（10分）解：4.9421,19-429-4(11-9)59-4115(20-11)-411520-911520-9(71320)322097132(91-71)97132914171329141(16291)73914116273(13878162)41162731387625162.1由等式起逐步回代得387731626251.5.12!.分解为质因数乘积（8分）6.,10|199!kk求最大的正整数使.（8分）7.111[1].23100L求(10分)8.81743.xy求方程的整数解(6分)9.19201909.xy求方程的正整数解(10分)10.求方程111x-321y=75的整数解.(10分)11.12310661.xxx求方程15的整数解(8分)12.361215.xyz求不定方程的整数解(8分)13.237.xyz求不定方程的所有正整数解(8分)14.19,2,35.30将写成三个分数之和它们的分母分别是和(10分)15.222370.xyxy求方程的整数解(6分)16.331072.xy求方程的整数解(8分)17.5()4.xyyzzxxyz求方程的正整数解(10分)18.4063().求的个位数字与最后两位数字十进制(10分)19.67(mod23).x解同余方程(8分)20.12150(mod45).x解同余方程(8分)21.2(mod3)3(mod5).2(mod7)xxx解同余式组(6分)22.43()0(mod35),()289.fxfxxxx解同余式(10分)23.765:2720(mod5).xxxx解同余方程(6分)24..求出模23的所有二次剩余和二次非剩余(8分)25.25(mod11).x判断方程有没有解(6分)26.2563,429(mod563).x已知是素数判定方程是否有解(8分)27.3求以为其二次剩余的全体素数.(8分)28.10173:(1)();(2)().1521计算(8分)29.(300).计算(6分)30.3(mod8)11(mod20).1(mod15)xxx解同余式组(10分)四证明题1、,,,,1.:|,|,|.abxyaxbyanbnabn设是两个给定的非零整数且有整数使得求证若则(6分)证明：1.()|,|.nnaxbynaxnbyabnaabnbabnQ又2.121212,,,,0,.4|.nnnaaaaaaaaannLLL设是整数且则(8分)证...
