第36页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第36页共10页第二章连续时间傅里叶变换1周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS(1)狄义赫利条件：在同一个周期T1内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积∫T1|f(t)|dt<∞。(2)傅里叶级数：正交函数线性组合。正交函数集可以是三角函数集{1,cosnω1t,sinnω1t:n∈N}或复指数函数集{ejnω1t:n∈Z}，函数周期为T1，角频率为ω1=2πf1=2πT1。(3)任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。(4)三角形式的FS：(i)展开式：f(t)=a0+∑n=1∞(anconω1t+bnsinnω1t)(ii)系数计算公式：(a)直流分量：a0=1T1∫T1f(t)dt(b)n次谐波余弦分量：an=2T1∫T1f(t)cosnω1tdt,n∈N(c)n次谐波的正弦分量：bn=2T1∫T1f(t)sinnω1tdt,n∈N(iii)系数an和bn统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。(iv)称f1=1/T1为信号的基波、基频；nf1为信号的n次谐波。(v)合并同频率的正余弦项得：(a)f(t)=c0+∑n=1∞cncos(nω1t+ψn)(b)f(t)=d0+∑n=1∞dnsin(nω1t+θn)ψn和θn分别对应合并后n次谐波的余弦项和正弦项的初相位。(vi)傅里叶系数之间的关系：(a)a0=c0=d0(b)an=cncosψn=dnsinθn(c)bn=−cnsinψn=dncosnθn(d)c0=d0=a0(e)cn2=dn2=an2+bn2(f)ψn=−arctgbnan(g)θn=arctganbn(5)复指数形式的FS：(i)展开式：f(t)=∑n=−∞∞Fnejnω1t(ii)系数计算：Fn=1T1∫T1f(t)e−jnω1tdt,n∈Z第37页共10页第36页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第37页共10页(iii)系数之间的关系：Fn=¿{a0,n=0¿¿¿¿Fn=F−n¿,F−n=Fn¿|Fn|=|F−n|=12|cn|=12|dn|=12√an2+bn2,(n≠0)|Fn|+|F−n|=|cn|=|dn|,(n≠0)Fn+F−n=anFn−F−n=bn/jcn2=dn2=an2+bn2=4FnF−n=4|Fn|2(n≠0)(iv)Fn关于n是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。(v)正负n(n非零)处的Fn的幅度和等于cn或dn的幅度。(6)奇偶信号的FS：(i)偶信号的FS：an=2T1∫T1f(t)cosnω1tdt；bn=2T1∫T1f(t)sinnω1tdt=0；cn=dn=anFn=an−jbn2=an2=F−n(Fn实，偶对称)；ψn=0；θn=π2(ii)偶的周期信号的FS系数只有直流项和余弦项。(iii)奇信号的FS：a0=an=0；bn=2T1∫T1f(t)sinnω1tdt；cn=dn=bn=2jFn；Fn=−F−n=−12jbn(Fn纯虚，奇对称)；ψn=−π2；θn=0(iv)奇的周期信号的FS系数只有正弦项。(7)周期信号的傅里叶频谱：(i)称{Fn}为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS谱。(ii)称{|Fn|}为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS幅度谱。(iii)称{ϕn}为傅里叶复数相位频谱，简称FS相位谱。(iv)周期信号的FS频谱仅在一些离散点角频率nω1(或频率nf1)上有值。(v)FS也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为ω1=2π/T1。(vi)FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS频谱的值、幅度和相位(vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线，反映了各谐波处FS频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。(viii)称cn为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小。(ix)称Fn为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的。正负频率的频谱幅度相加，才是实际幅度。(8)周期矩形脉冲序列的FS谱的特点：(i)谱线包络线为Sa函数；(ii)谱线包络线过零点：(其中ω1=2πT1为谱线间隔)：nπτT1=kπ，或nω1=2kπτ，k∈Z,k≠0即当ω=nω1=2kπ/τ时，an=cn=Fn=0。(iii)在频域，能量集中在第一个过零点之内。(iv)带宽βω=2π/τ或βf=1/τ只与矩形脉冲的脉宽τ有关，而与脉高和周期均无关。第38页共10页第37页共10页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第38页共10页(定义0~2π/τ为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽)(9)周期信号的功率：P[f(t)]=∑n=−∞∞‖Fn‖2(10)帕斯瓦尔方程：1T1∫T1f2(t)dt=∑n=−∞∞|Fn|22非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT)(1)信号f(t)的傅里叶变换：F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdt=ΔF[f(t)]是信号f(t)的频谱密度函数或FT频谱，简称为频谱(函数)。(2)频谱密度函数F(ω)的逆傅里叶变换为：f(t)=12π∫−∞∞F(ω)ejωtdω^=¿F−1[...
