第十五章分式15.2.3整数指数幂(第1课时)学习目标1.经历探索负整数指数幂和0指数幂的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展代数推理能力和有条理的表达能力.2.知道负整数指数幂a-n=1an(a≠0,n是正整数),了解幂运算的法则可以推广到整数指数幂,掌握整数指数幂的运算性质,会进行简单的整数范围内的幂运算.3.在数学公式学习中体会公式的简洁美、和谐美,随着学习的知识范围的扩展,产生对新知识的渴望与追求的积极情感,形成辩证统一的哲学观和世界观.学习过程一、自主学习问题1:你还记得下面这些算式的算法吗?完成后,说出它们所反映的公式.(1)33×35;(2)(x3)3;(3)(mn)4;(4)a5÷a3;(5)x7÷x7;(6)a7÷a8.问题2:(1)你还记得a0=1(a≠0)是怎么得到的吗?(2)同底数幂除法公式am÷an=am-n中a,m,n有什么限制吗?(3)你会计算它们吗?53÷55=;103÷107=.(4)由以上计算,你能发现什么?(5)请你类比0指数的规定,你认为可作怎样的规定?能用一般的公式表示吗?(6)议一议:为什么公式中规定a≠0?练习:1.P145的练习1.2.填空:(1)5-3=;(2)2-2=;(3)a-1=;(4)(2x)-2=.二、深化探究填一填:a3×a-5=a3·1()=1()=a()=a()+()即a3×a-5=a()+()a-3×a-5=1()·1()=1()=()=a()+()即a-3×a-5=a()+()a0×a-5=()·1()=()=a()+()即a0×a-5=a()+()完成填空后,思考下列问题:问题1:从以上填空中你想到了什么?问题2:再换其他整数指数验证这个规律.问题3:继续举例探究:(am)n=amn,(ab)n=anbn,(ab)n=anbn在整数指数幂范围内是否适用?三、练习巩固【例1】计算:(1)(a-1b2)3;(2)a-2b2·(a2b-2)-3.【例2】下列等式是否正确?为什么?(1)am÷an=am·a-n;(2)(ab)n=anb-n.【例3】计算:(1)(-110)-3+(130)-2×3.140-(-3)3×0.3-1+(-0.1)-2;(2)(3m-1n2)-2(m2n-3)-3.小试牛刀:1.明辨是非:(1)a2·a-3=a2+(-3)()(2)(ab)-3=a-3b-3()(3)(a-3)2=a(-3)×2()(4)(-2014)0=-1()(5)(x0)-2009=1()(6)x3y-3·(x2y0)-3=1x3y0()2.计算:(1)(13)0×10-1(2)3.6×10-3(3)(-4)-3×(-4)3(4)(23)-2×(23)-1(5)a3÷a-3×a-6(6)(2b-2)-3四、深化提高1.a-n属于分式的条件是什么?2.已知:10m=5,10n=4,求102m+3n.3.若3n=127,求2n-2的值.4.若x=1-a-b,y=1-ab,则y等于()A.xx-1B.2-x1-xC.1+x1-xD.2+x1-x五、拓展新知计算:(1)2a-2b-3(-3a-1b2)6a-1·(ab)-2;(2)(ab)-1·(-2a)3·(-2a2b-1)-2.参考答案一、自主学习问题1:(1)33+5=38;(2)x3×3=x9;(3)m4n4;(4)a5-3=a2;(5)1(或x7-7=x0=1);(6)1a.它们反映出的公式分别为:(1)同底数的幂的乘法:am·an=am+n(m,n是正整数);(2)幂的乘方:(am)n=amn(m,n是正整数);(3)积的乘方:(ab)n=anbn(n是正整数);(4)同底数的幂的除法:am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,m>n);(5)分式的基本性质:AB=A·CB·C,AB=A÷CB÷C(C≠0),其中A,B,C是整式.问题2:(1)由于am÷am=1,又若利用同底数幂的除法处理可得am÷am=am-m=a0,于是规定了a0=1(a≠0).(2)有.a≠0,m,n是正整数,m>n.(3)思路一:53÷55=5355=152,103÷107=103107=1104;思路二:53÷55=53-5=5-2,103÷107=103-7=10-4.(4)5-2=152,10-4=1104.(5)能.规定:当n是正整数时,a-n=1an(a≠0),即任何不等于零的数的-n(n为任何正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数.(6)因为a实际上是处在分母的位置上.由前面的规定可以发现,同底数幂除法公式am÷an=am-n中m,n的取值就可以重新规定了,可由原来的m>n变成m,n可取任意整数,不论大小,这样就实现了幂的运算的扩展.练习:1.(1)119(2)119(3)11b22.(1)1125(2)14(3)1a(4)14x2二、深化探究填一填:依次填:a5,a2,a-2,3,-5,3,-5;依次填:a3,a5,a8,a-8,-3,-5,-3,-5;依次填:1,a5,a-5,0,-5,0,-5.问题1:am×an=am+n这条性质对m,n是任意整数的情形都适用.问题2:过程略.形成定论:am×an=am+n这条性质对m,n是任意整数的情形都适用.问题3:(am)n=amn,(ab)n=anbn,(ab)n=anbn在整数指数幂范围内适用.三、练习巩固【例1】计算:(1)(a-1b2)3=a-3b6=b6a3;(2)a-2b2·(a2b-2)-3=a-2b2·a-6b6=a-8b8=b8a8.【例2】(1)正确.∵am÷an=am-n=am+(-n)=am·a-n,∴am÷an=am·a-n.(2)正确.∵(ab)n=anbn=an·1bn=anb-n,∴(ab)n=anb-n.【例3】计算:(1)原式=(-10)3+302×1-(-27)×103+100=-1000+900+90+100=90;(2)原式=19m2n-4·m-6n9=19m-4n5=n59m4.小试牛刀:1.(1)(2)(3)(5)对;(4)(6)错.2.(1)110(2)92500(3)1(4)278(5)1(6)18b6四、深化提高1.n是正整数且a≠0.2.1600.3.132.4.A五、拓展新知解:(1)2a-2b-3(-3a-1b2)6a-1·(ab)-2=-2×36a-2+(-1)-(-1)-(-2)·b-3+2-(-2)=-a0b=-b;(2)(ab)-1·(-2a)3·(-2a2b-1)-2=a-1b-1·(-2)3a3·(-2)-2·a2×(-2)b-1×(-2)=(-2)3+(-2)a(-1)+3+(-4)b-1+2=-2a-2b=-2ba2.
