春八年级数学下册 1.1 等腰三角形 第3课时 等腰三角形的判定与反证法导学案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中八年级下册数学学案VIP免费

第3课时等腰三角形的判定与反证法1.探索并理解等腰三角形的判定定理，会运用其进行简单的证明．2.了解反证法的基本证明思路，并能简单的应用．阅读教材P8，掌握等腰三角形的判定方法，会画等腰三角形，并能综合运用等腰三角形的有关知识解决问题，学生独立完成下列问题：知识准备定义：如果一个三角形有两边相等，这个三角形为等腰三角形.(1)阅读下面的证明过程，完成问题：已知：如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC.解一：过点A作BC的中垂线AD，垂足为D.解二：作△ABC的角平分线AD.数学老师看了两种辅助线的作法后，说：解二是正确的，而解一的作法需要订正.①请你简要说明解一辅助线作法错在哪里；②根据解二的辅助线作法，完成证明过程.(2)如果一个三角形有两角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).自学反馈(1)在△ABC中，∠A=80°，∠B=50°，那么△ABC的形状是等腰三角形.(2)课本P9页随堂练习T1、习题1.3T1、T2.学习教材P9“例3”，回答下面的问题：1．写出该命题的条件和结论．答：条件：如果一个图形是三角形；结论：那么该三角形不能有两个角是直角．2．假设该命题的结论不成立，即：假设这个三角形中有两个直角．仿例：用反证法证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.证明：假设△ABC中每个内角都小于60°，则∠A＋∠B＋∠C<180°.这与三角形内角和定理矛盾，故假设错误．所以在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.活动1学生独立完成例1如图，DB=DC，∠ABD=∠ACD，求证：AB=AC.证明：连结BC.∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB.∵∠ABD=∠ACD，∴∠ABD+∠DBC=∠ACD+∠DCB.∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.本题主要是通过连接BC，使AB、AC在同一个三角形中，最后通过证明它们所对的角相等，而证得这两条线段相等.例2已知：如图，O为∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，DE过点O且DE∥BC交AB，AC分别于D，E.探索：DE，BD，CE的关系.结论：DE=BD+CE.证明：∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB.∵OB，OC分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，∴∠DBO=∠OBC，∠ACO=∠OCB.∴∠DBO=∠DOB，∠ACO=∠EOC.∴DB=DO，EC=EO.∵DE=DO+EO，∴DE=BD+CE.此题先探讨其数量关系，然后利用等角对等边证明DO=DB，EO=EC.例3如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的中点，且BD≠CE，求证：AB≠AC.证明：设AB=AC，则∠ABC=∠ACB，∵AB=AC，D、E分别是AC、AB上的中点，∴BE=CD.在△BCD和△CBE中，∴△BCD≌△CBE.∴BD=CE，与BD≠CE相矛盾.则AB≠AC.此题先假设AB=AC，然后推导出与条件不符的结论，说明假设不成立.活动2跟踪训练1．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中（D）A．有一个内角小于45°B．每一个内角都小于45°C．有一个内角大于等于45°D．每一个内角都大于等于45°2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD=3cm.3．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设四边形中没有一个角是钝角或直角.4.如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=55°.5.如图，∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于点E.求证：△CEB是等腰三角形.证明：∵CE∥AD，∴∠CEB=∠A.∵∠A=∠B，∴∠CEB=∠B.∴△CEB是等腰三角形.6.如图，△ABC中，BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F且交BC于E.求证：△DBE是等腰三角形.证明：∵BA=BC，∴∠A=∠C.∵DF⊥AC，∴∠DFA=∠EFC=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠FEC=90°.∴∠D=∠FEC.∵∠BED=∠FEC，∴∠D=∠BED.∴BE=BD，即△DBE是等腰三角形.此题用等角的余角相等证角等比较简便.活动3课堂小结1.对于判断三角形是否是等腰三角形这一类问题，常常是抓一个三角形有两个角相等，转化到对应的边相等，可以借助计算，运用平行线的性质，以及同角或等角的余角相等等方法去辅助证明.2.运用反证法证明时，先假设命题的结论不成立，然后出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果.