18.2.3正方形学习目标1.掌握正方形的概念、性质和判定方法,并会运用它们进行有关的论证和计算.(难点)2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.(重点)学习过程一、合作探究阅读教材P58~59内容,完成下面问题:1.小学已学过正方形四条边都;正方形四个角都是.正方形定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形.从正方形的定义中看出,有三层意义:;;.2.正方形是矩形吗?是菱形吗?为什么?正方形具有哪些性质呢?只要矩形再有一组邻边相等,这样的特殊矩形是正方形;只要菱形再有一个内角为90°,这样的特殊矩形是正方形.3.因此我们说正方形是特殊的矩形,所以具有矩形的所有性质;它又是菱形,所以它又具有菱形的一切性质,归纳如下:正方形性质:(1)边的性质:对边,四条边都.(2)角的性质:四个角都是角.即∠A=∠B=∠=∠=°,∠ABD====45°.(3)对角线的性质:两条对角线互相且,每条对角线分一组对角.由ABCD是正方形,可得OA===OD,AC⊥.(4)对称性:是轴对称图形,有()条对称轴.而矩形、菱形都只有()条对称轴.(5)边长与对角线长的关系:(6)正方形的面积:①边长的②两条对角线.4.平行四边形、菱形、矩形、正方形四者之间的关系:5.怎样判定一个四边形是正方形呢?把你所想的判定方法写出来并和同学们交流、证明.归纳总结出判定正方形的方法如下:判定方法:(1)从四边形到正方形:(2)从平行四边形到正方形:(3)从矩形到正方形:(4)从菱形到正方形:提示判定正方形的一般顺序:先证它是平行四边形,再证有一组邻边相等(或一个角是直角),最后证它有一个角是直角(或有一组邻边相等).理解成:先证它是矩形,再证有一组邻边相等;或先证它是菱形,再证有一个角是直角.二、自主学习【例题】已知,如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.求证:△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰直角三角形.证明: 四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.变式已知:如图,正方形ABCD,对角线AC,BD交于点O,AC=4.则(1)∠BAC=,∠AOB=.(2)与OA相等的线段有,AB=.(3)正方形的周长是,面积是.三、跟踪练习1.下列四边形中,对角线相等且互相垂直平分的是()A.平行四边形B.正方形C.菱形D.矩形2.在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,如果再添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是()A.∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD3.(长春中考)如图,点E在正方形ABCD的边CD上,若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为.4.如图所示,已知▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是正方形.四、达标检测1.下列命题,正确的有()①对角线相等的菱形是正方形②四条边都相等的四边形是正方形③四个角相等的四边形是正方形④对角线互相垂直的矩形是正方形⑤对角线垂直且相等的四边形是正方形A.①②B.②③C.①④D.③⑤2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是()A.四条边相等B.对角线互相垂直且平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等3.正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A.四个角相等B.对角线互相垂直且平分C.对角线相等D.对角互补4.正方形的四条边都,四个角都是,对角线.5.如果一个四边形既是菱形,又是矩形,那么这个四边形一定是.6.P为正方形ABCD内部一点,且PA=PD=AD,则△PBC为.7.如图,在正方形ABCD中,F在CD的延长线上,CE⊥AF交AD于M,则∠MFD=.8.已知正方形的一边长为1cm,则它的周长为,面积为,对角线长为.9.已知正方形的对角线长为2cm,则它的边长为.10.如图,四边形ABCD是正方形,点G是BC上的任意一点,DE⊥AG于点E,BF∥DE,交AG于点F,求证:AF-BF=EF.11.如图,正方形ABCD中,AC与BD交于点O,点M,N分别在AC,BD上,且OM=ON,求证:BM=CN.参考答案一、合作探究答案略二、自主学习例题证明: 四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.变式(1)45°90°(2)OB,OD,OC2❑√2(3)8❑√28三、跟踪练习1.B2.D3.54.证明:(1) 四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.又 △ACE是等边三角形,∴EO⊥AC,即DB⊥AC,∴...
