18.1.2平行四边形的判定(第2课时)学习目标1.知道三角形中位线的概念,能说出三角形中位线定理,并能应用定理解决问题.(重点)2.经历探索三角形中位线定理的过程,知道它与平行四边形的内在联系.(难点)3.在学习中养成合情推理意识,体会在日常生活中的应用价值.学习过程一、合作探究【问题探究一】三角形中位线阅读教材47页的第一个“练习”后到教材49页“练习”之前的内容,解决下列问题:1.连接三角形的线段叫三角形中位线.2.一个三角形有条中位线.3.三角形的中位线与中线有什么区别?【问题探究二】三角形中位线的定理阅读教材本节中的“探究”至“练习”,思考、讨论、合作交流后解决下列问题:1.度量∠ADE与∠B和DE与BC的大小,你发现DE与BC有怎样的位置和数量关系?2.把△ABC沿中位线DE剪开,得到△ADE和四边形BCED,将ΔADE绕点E旋转,使点D与F重合,你能拼出了一个什么图形?对于三角形其他的中位线,重复上述实验,你得出了什么结论,用语言描述出来.3.你能证明上述发现吗?写出证明过程:如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点.求证:DE∥BC,DE=12BC.分析:本题既要证明两条线段所在的直线平行,又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半.将DE延长一倍后,可以将证明DE=12BC转化为证明延长后的线段与BC相等.此时,能否通过构造平行四边形,利用平行四边形的性质进行证明?证明:归纳总结:三角形中位线的定理.几何语言表述∵.∴.【讨论】三角形三边的中点连接后形成一个新的三角形,这个新三角形的周长和面积与原三角形的周长和面积有什么关系?二、跟踪练习1.已知△ABC周长为16,D,E分别是AB,AC的中点,则△ADE的周长等于()A.1B.2C.4D.82.连接三角形两边的,叫做三角形的中位线.3.三角形的中位线第三边,且等于第三边的.4.如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连接AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M,N,如果测得MN=20m,那么A,B两点的距离是m,理由是.5.如图,在Rt△ABC中,直角边AC等于6cm,BC等于8cm,D,E分别是AC,BC的中点,则DE=cm.6.如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点.(1)若DF=5cm,则AB=cm.(2)AD与EF的关系为.三、达标测试1.如图所示,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B的点C,找到AC,BC的中点D,E,并且测出DE的长为10m,则A,B间的距离为()A.15mB.25mC.30mD.20m2.如图,在△ABC中,E,D,F分别是AB,BC,CA的中点,AB=6,AC=4,则四边形AEDF的周长是()A.10B.20C.30D.403.如图所示,已知四边形ABCD,R,P分别是DC,BC上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时,那么下列结论成立的是()A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减少C.线段EF的长不变D.线段EF的长不能确定4.已知三角形的各边分别为8cm,10cm和12cm,求连接各边中点所成三角形的周长.5.如图,△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,(1)若EF=5cm,则AB=cm;若BC=9cm,则DE=cm;(2)中线AF与DE中位线有什么特殊的关系?证明你的猜想.6.如图所示,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE=EB,求证:OE∥BC.7.已知:△ABC的中线BD,CE交于点O,F,G分别是OB,OC的中点.求证:四边形DEFG是平行四边形.8.已知:如图,E为▱ABCD中DC边的延长线上的一点,且CE=DC,连接AE分别交BC,BD于点F,G,连接AC交BD于O,连接OF.求证:AB=2OF.参考答案一、合作探究探究一、1.各边中点2.三3.中位线是中点与中点的连线;中线是顶点与对边中点的连线.探究二、1.DE=12BC;DE∥BC2.得到平行四边形3.证明:如图,延长DE到F,使EF=DE,连接FC,DC,AF.∵AE=EC,DE=EF,∴四边形ADCF是平行四边形,∴CF∥AD,CF=AD.∵AD=BD,∴CF∥BD,CF=BD,∴四边形BDFC为平行四边形,∴DF∥BC,DF=BC.∴DE=12BC,DE∥BC.归纳总结:三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.几何语言表述:∵DE是三角形中位线,∴DE∥BC,DE=12BC.【讨论】△DEF周长=12△ABC周长;△DEF面积=14△ABC面积.二、跟踪练习1.D2.中点;线段3.平行于;一半4.40;三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.5.56.10;互相平分.三、达标测试1.D2.A3.C4.15cm5.(1)10;4.5(2)互相平分;略6.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,又∵AE=EB,∴OE∥BC.7.证明:∵E,D是AB,AC中点,∴ED∥BC,ED=12BC.∵F,G是OB,OC中点,∴FG∥BC,FG=12BC.∴ED∥FG,ED=FG.∴四边形DEFG是平行四边形.8.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,OA=OC,∴∠BAF=∠CEF,∠ABF=∠ECF.∵CE=DC,∴AB=CE.在△ABF和△ECF中,{∠BAF=∠CEF,AB=CE,∠ABF=∠ECF,∴△ABF≌△ECF(ASA),∴BF=CF,∵OA=OC,∴OF是△ABC的中位线,∴AB∥OF,AB=2OF.
