6.4.2多边形的外角和导学案学习目标1.理解和掌握多边形外角和定理的推导过程；2.能进行多边形内角和、外角和定理的综合运用.一.自学释疑1.一个多边形的一个顶点处，可作有几个外角，它们是什么关系？2.在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？二.合作探究探究点一问题1：小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步.(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，跑步方向改变的哪个角？在图中标出.(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？(3)在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？你是怎样得到的？小明的推理：问题2：如果广场是六边形、八边形、n边形那会什么结果？探究点二问题1：过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ,∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5是多少度？问题2：归纳多边形的外角：多边形的外角和：多边形的外角和：探究点三问题1：已知一个多边形,它的内角和等于外角和的3倍,求这个多边形的边数和对角线的条数?问题2：如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD，若AE∥CF，∠BCF=60°，请你求出∠DCF的度数．并说明你的理由．强化训练1.一个多边形截去一个角后,形成的另一个多边形的内角和是1620°,则原来多边形的边数是多少？2.如图所示,根据图中的对话回答问题.(1)内角和为2015°,小明为什么说不可能?(2)小华求的是几边形的内角和?(3)错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗?随堂检测1．将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是()A．360°B．540°C．720°D．900°2．一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1∶4，那么这个多边形的边数为()A．8B．9C．10D．123.一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°,则这个多边形对角线的条数是()A.27B.35C.44D.544.某花园内有一块四边形的空地如图所示,为了美化环境,现计划在以四边形各顶点为圆心,2m长为半径的扇形区域(阴影部分)种上花草,种上花草的扇形区域总面积是()A.6πm2B.5πm2C.4πm2D.3πm25.已知一个多边形的内角和与外角和的比是2∶1,求这个多边形对角线的条数.我的收获：.参考答案探究点一问题2解：如图，根据问题1知六边形：∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5+∠6=6×180°-(6-2)×180°=360°同理，八边形：∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5+∠6+∠7＋∠8=8×180°-(8-2)×180°=360°n边形：∠1+∠2＋…＋∠（n-1）＋∠n=n×180°-(n-2)×180°=360°探究点二问题1：解：∵∠1=∠α，∠2=∠Β，∠3=∠γ，∠4=∠δ，∠5=∠θ∴∠1+∠2＋∠3＋∠4＋∠5=5×180°-(5-2)×180°=360°探究点三问题1解：解：设这个多边形的边数为n，则（n-2）•180°=3×360°解得，n=8对角线的条数：n（n-3）=×8（8-3）=20因此，这个多边形是八边形。对角线有20条解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°，∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=360°-180°=180°.问题2解：∠DCF=60°，理由如下：如图，∵∠B=90°∴∠1+∠BCF=90°∵∠BCF=60°∴∠1=30°．∵AE∥CF∴∠2=∠1=30°∵AE平分∠BAD∴∠3=∠2=30°又∵∠D=90°∴∠3+∠4=90°∴∠4=60°∵AE∥CF∴∠DCF=∠4=60°．强化训练1.解：设新形成的多边形的边数为n,则有(n-2)×180=1620,解得n=11.若只截去多边形的一个顶点,则新多边形会多出一个顶点,此时原多边形是十边形;若截到两个顶点,则边数未变,此时原多边形为十一边形;若截到三个顶点,则少了一个顶点,此时原多边形为十二边形;综上可知,原多边形的边数可以为10或11或12.2.解：(1)∵n边形的内角和是(n－2)·180°，∴内角和一定是180°的倍数．∵2014÷180＝11…35，∴内角和为2014不可能．(2)依题意，有2015°－180°＜(x－2)·180°＜2014°，解得12＜x＜14，因而多边形的边数是13.故小华求的是十三边形的内角和．(3)十三边形的内角和是(13－2)×180°＝1980°，2015°－1980°＝35°，因此这个外角的度数为35°随堂检测1.D2.C3.C4.C5.解:设这个多边形的边数为n,由题意得(n-2)•180°=360°×2,解得n=6,n（n-3）=9所以这个多边形对角线的条数为n（n-3）=9.
