28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形学习目标1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系.2.会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.学习过程一、复习旧知1.在三角形中共有几个元素?答:2.直角三角形ABC中,∠C=90°,a,b,c,∠A,∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?(1)边角之间关系:.(2)三边之间关系:.(3)锐角之间关系:.二、自主探究【探究1】要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一个长6m的梯子,问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m)?(2)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)?这时人是否能够安全使用这个梯子?问题(1)可以归结为:在Rt△ABC中,已知∠A=75°,斜边AB=6,求∠A的对边BC的长.解:问题(2)可以归结为在Rt△ABC中,已知AC=2.4,斜边AB=6,求锐角α的度数解:【探究2】1.在直角三角形中,除直角外的5个元素中知道几个,就可以求其余元素?答:2.解直角三角形:.三、尝试应用1.在△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=❑√2,a=❑√6,解这个三角形.解:2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解这个三角形(结果保留小数点后一位).解:四、补偿提高1.在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形;(1)a=30,b=20;(2)∠B=72°,c=14.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,∠A的平分线AD=10❑√3,解这个直角三角形.解:五、学后反思通过本节课的学习你有哪些收获?答:评价作业(满分100分)1.(6分)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=12,则∠B等于()A.30°B.45°C.60°D.90°2.(6分)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,AB=7,则BC的长为()A.7sin35°B.7cos35°C.7cos35°D.7tan35°3.(6分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,则下列结论正确的是()A.sinB=❑√55B.cosB=25C.tanB=2D.AB=❑√34.(6分)在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=10,sinA=35,则BC的长为()A.6B.7.5C.8D.12.55.(6分)如果等腰三角形的底角为30°,腰长为6cm,那么这个三角形的面积为()A.4.5cm2B.9❑√3cm2C.18❑√3cm2D.36cm26.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,b=10,∠A=30°,则a=.7.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cosB=45,则AC=.8.(8分)如图所示,在△ABC中,AB=2,AC=❑√2,以点A为圆心,1为半径的圆与边BC相切于点D,则∠BAC的度数是.第8题图第9题图9.(8分)如图所示,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2❑√3,则AB的长为.10.(10分)根据下列条件解直角三角形.(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=5.(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=❑√3.11.(12分)如图所示,在菱形ABCD中,DE⊥AB于点E,cosA=35,BE=4,求tan∠DBE的值.12.(16分)如图所示,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD,CB相交于点H,E,AH=2CH.(1)求sinB的值;(2)如果CD=❑√5,求BE的长.参考答案学习过程一、复习旧知1.答:共有六个元素,其中有三条边和三个角.2.(1)sinA=cosA=bctanA=absinB=bccosB=actanB=ba(2)a2+b2=c2(勾股定理).(3)∠A+∠B=90°二、自主探究【探究1】(1)解:当∠BAC=75°时,梯子能安全使用且它的顶端最高;在Rt△ABC中,有sin∠BAC=BCAB,∴BC=AB·sin∠BAC=6×sin75°≈5.8;答:使用这个梯子最高可以安全攀上的墙高约为5.8m.(2)解:在Rt△ABC中,有cos∠BAC=ACAB=0.4,利用计算器求得∠BAC≈66°, 50°<66°<75°,∴这时人能安全使用这个梯子.答:人能够安全使用这个梯子.【探究2】1.答:知道5个元素中的2个(其中有1个是边),就可以求其余元素.2.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程.三、尝试应用1.解: tanA=BCAC=❑√6❑√2=❑√3,∴∠A=60°,∠B=90°-∠A=90°-60°=30°,AB=2AC=2❑√2.2.解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55°. tanB=ba,∴a=btanB=20tan35°≈28.6. sinB=bc,∴c=bsinB=20sin35°≈34.9.四、补偿提高1.解:(1)由勾股定理得,c=❑√a2+b2=❑√302+202=10❑√13, tanA=ab=23,∴∠A=33.69°,∠B=90°-33.69°=56.31°;(2)b=c·sinB=14×0.9511≈13.315,a=c·cosB=14×0.3090≈4.326,∠A=90°-72°=18°.2.解:如右图所示, Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,∠A的平分线AD=10❑√3,∴si...
