25.5相似三角形的性质能力点1相似三角形性质的应用题型导引利用相似三角形的性质进行推理计算，如求角和面积等．【例1】如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.(1)求证：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．分析：(1)由▱ABCD的性质可得到∠A＝∠C，∠ABF＝∠CEB，容易证出△ABF∽△CEB；(2)观察图形可知S四边形ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF，而S四边形BCDF＝S△BCE－S△DEF，因此可以S△DEF＝2为切入点，结合△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，及条件DE＝CD，求出S△ABF，S△BCE，从而求出S四边形BCDF.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD.∴∠ABF＝∠CEB.∴△ABF∽△CEB.(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB綉CD.∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.∵DE＝CD，∴＝＝，＝＝.∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.∴S四边形BCDF＝S△BCE－S△DEF＝16.∴S四边形ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.规律总结利用相似三角形的性质求图形的面积时，可以适当的把图形分割转化为三角形，然后根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”求解．变式训练如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.(1)求证：＝；(2)求这个矩形EFGH的周长．分析解答分析：(1)利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比即可求证，当然，也可以找到两组比，利用等边传递相似比；(2)设元，利用合适的相似比列出方程，解方程即可．解：(1)方法一：证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH.∴△AHG∽△ABC.又∵AD⊥BC，∴AM⊥HG.∴＝.方法二：证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH.∴△AHG∽△ABC，△AHM∽△ABD.∴＝，＝.∴＝.(2)由(1)得＝；设HE＝x，则HG＝2x，∵AD⊥BC，∴DM＝HE.∴AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.可得＝，解得，x＝12，2x＝24.所以矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．能力点2利用相似三角形的判定与性质证明等积式题型导引利用相似三角形的性质，证明线段的比例式或等积式，进行比例式和乘积式之间的互化．【例2】如图，等腰梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC与BD交于点O，AD＝DC，AC＝BD＝AB.求证：OB2＝OD·BD.分析：可证OB＝BC＝CD，所以要证OB2＝OD·BD只需要CD2＝OD·BD即可，即只需要证明△COD相似于△BCD即可．证明：∵DC∥AB，∴∠BDC＝∠ABD.又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD＝BC.∵AD＝DC，∴BC＝CD.∴∠BDC＝∠DBC.∴∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝α.又∵AC＝BD＝AB，∴∠ABC＝∠ACB＝2α.∵∠COB＝2α＝∠ACB，∴OB＝BC＝CD.在△COD和△BCD中，∠BDC＝∠BDC，∠DCA＝∠CAB＝∠DBC＝α，∴△COD∽△BCD，∴＝.又OB＝BC＝CD，∴OB2＝OD·BD.规律总结在利用相似三角形证明线段的比例式或等积式时，注意它们之间的相互转化，弄清等积式或比例式所涉及的四条线段是在哪两个三角形中，然后依据已知条件结合图形证明这两个三角形相似．变式训练已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点E，且AC⊥BD.(1)求证：CD2＝BC·AD；(2)点F是边BC上一点，连接AF，与BD相交于点G，如果∠BAF＝∠DBF，求证：＝.证明：(1)∵AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠ADC＝∠BCD＝90°.又∵AC⊥BD，∴∠ACD＋∠ACB＝∠CBD＋∠ACB＝90°.∴∠ACD＝∠CBD.∴△ACD∽△DBC.∴＝，即CD2＝BC·AD.(2)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBF.∵∠BAF＝∠DBF，∴∠ADB＝∠BAF.∵∠ABG＝∠DBA，∴△ABG∽△DBA.∴＝＝.∵△ABG与△DBA等高，∴＝，∴＝.
