24.3一元二次方程根与系数的关系*学习目标：1.学会用直接开平方法解简单的一元二次方程.2.了解配方法解一元二次方程的解题步骤.学习重点：配方法的解一元二次方程的步骤.学习难点：用配方法解一元二次方程.一、知识链接1.(1)一元二次方程的一般形式是________________.(2)一元二次方程的求根公式是_________________.2.由因式分解法可知，方程（x-2）（x-3）=0的两根为x1=_____，x2=_____.方程（x-2）（x-3）=0可化为x2-5x+6=0的形式，则x1+x2=________,x1x2=______.二、新知预习【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2,x1·x2的值，它们一元二次方程的各系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？【自主探究一】【猜想1】若方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则x1+x2=______,x1·x2=______.【自主探究二】【猜想1】若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=______,x1·x2=______.三、自学自测1.已知是x1，x2方程x2+3x-4=0的两根，则x1+x2=________,x1x2=______.2.不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的（1）平方和；（2）倒数和.四、我的疑惑自主学习_____________________________________________________________________一、要点探究探究点1：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【验证猜想】对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，设方程的两个分别为x1，x2，求x1+x2,x1x2的值.（1）根据公式法，我们可以知道x1=_____，x2=_____.（2）则x1+x2=________,x1x2=______.一元二次方程根与系数的关系例1：设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）（2）解：根据根与系数的关系，可知x1+x2=________,x1x2=______.（1）=____________=______________;（2）=____________=______________;【归纳总结】配方解决此类问题先要确定a，b，c的值，再求出的x1+x2,x1x2值，最后将所求式做适当变形，把x1+x2与x1x2的值整体代入求解即可.【针对训练】1.已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为()A．－1B．9C．23D．272.请写出两根分别是2和－5的一个一元二次方程________．探究点2：一元二次方程根与系数的关系的应用例2：已知方程的一个根是－3，求另一根及k的值.解：方法一方法二合作探究【归纳总结】利用根与系数的关系求未知字母的值时，求出的值必须保证原方程有解，通常解这类题目时，最后都需要检验.【针对训练】1.已知的两个实数根，求的值2.关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值.二、课堂小结根与系数的关系公式应用应用前提方程必须有解应用形式①已知一根求另一根和未知系数；②求变形式的值；③已知两根求方程；④已知两个根的数量关系，求未知字母的值（要注意取舍）1.若方程的两个根为，，则的值是.2.已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则＋的值是()A．7B．－7C．11D．－113.设x1，x2是一元二次方程3x2＋6x－＝0的两实数根，不解方程，求下列各式的值．当堂检测(1)x·x2＋x1·x；(2)|x1－x2|.4.设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根．问：是否存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立，请说明理由．5.已知a，b，c是Rt△ABC三边的长，a＜b＜c，(1)求证：关于x的方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根；(2)若c＝3a，x1，x2是这个方程的两根，求x＋x的值．当堂检测参考答案：1.-12.A3.x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，(1)x·x2＋x1·x＝x1·x2(x1＋x2)＝－×(－2)＝3.(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2)2－4×＝4＋6＝10.故|x1－x2|＝.4.∵关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根，∴Δ＝16－4(k＋1)≥0.∴k≤3.又3x1·x2－x1＞x2，∴3x1·x2－(x1＋x2)＞0.而x1＋x2＝4，x1·x2＝k＋1，∴3×(k＋1)－4＞0.∴k＞.∴＜k≤3，∴存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立．5.(1)证明：把方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0化成一般形式为(c－a)x2－2bx＋a＋c＝0，其判别式Δ＝8b2－4a2＋4c2，∵a，b，c是Rt△ABC三边的长，且a＜b＜c，∴Δ＝8b2－4a2＋4c2＞0.∴方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根．(2)∵x1＋x2＝，x1·x2＝，又c＝3a，∴x1＋x2＝，x1·x2＝2，∴x＋x＝－4.
