二次函数与一元二次方程【学习目标】理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想．【学习重点】二次函数与一元二次方程的关系的探索过程．【学习难点】准确理解二次函数与一元二次方程的关系．方法指导：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值h，求自变量x的值的解题步骤；1．令y＝h，从而将二次函数化为一元二次方程．2．解相应的一元二次方程得自变量的值．情景导入生成问题旧知回顾：1．一次函数y＝kx＋b的图象经过(0，3)、(4，0)，则方程kx＋b＝0的解是x＝4．2．如图，一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝1的解是x＝－2．思考：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？通过本节课的学习我们将能解决这个问题．自学互研生成能力1．观察二次函数y＝x2＋3x＋2的图象，并回答下列问题．(1)函数图象与x轴有几个交点？(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？解：(1)函数图象与x轴有两个交点．(2)从以上观察可以得出，求函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标即是求当y＝0时，自变量x的值，也就是求方程ax2＋bx＋c＝0的根．归纳：二次函数与一元二次方程的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c一元二次方程ax2＋bx＋c＝0b2－4ac＞0与x轴有两个交点有两个不等的实数根b2－4ac＝0与x轴有一个交点有两个相等的实数根b2－4ac＜0与x轴没有交点无实数根范例：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1＝1，x2＝2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标分别为(1，0)(2，0)．仿例：二次函数y＝x2－6x＋n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2－6x＋n＝0的一个解为x1＝1，则另一个解x2＝5．阅读教材P31～32页，完成以下问题范例：作出二次函数y＝x2－x－6的图象，根据图象回答下列问题：(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么；(2)当x取何值时，y＝0？这里x的取值与方程x2－x－6＝0有什么关系．解：图略．(1)图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0)；与y轴的交点坐标为(0，－6)．(2)当x＝－2或x＝3时，y＝0.这里x的取值与方程x2－x－6＝0的解相同．由上述过程我们知道可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般都是近似的．阅读教材P32的内容，完成下面的仿例：我们可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．仿例：用图象法求一元二次方程x2＋2x－1＝0的近似解．解：设y＝x2＋2x－1.画出抛物线y＝x2＋2x－1的图象如图所示．由图象知，当x≈0.4或x≈－2.4时，y＝0.即方程x2＋2x－1＝0的近似解为x1≈0.4，x2≈－2.4.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一一元二次方程与二次函数的关系知识模块二利用二次函数图象解一元二次方程检测反馈达成目标1．已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2015的值为(D)A．2013B．2014C．2015D．20162．如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两实根为－3及－5，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴是直线x＝－4．3．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为x1＝－1，x2＝3．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑________________________________________________________________________
