第二十三章旋转23.2中心对称23.2.1中心对称学习目标1.了解中心对称、对称中心、关于对称中心的对称点等概念及利用这些概念解决一些问题,掌握两个图形关于某个点对称或中心对称、对称中心、关于对称中心的对称点等概念及其运用它们解决一些实际问题.2.会画出与已知图形成中心对称的图形.学习过程一、自主思考如图,△ABC绕点O旋转,使点A旋转到点D处,画出旋转后的三角形,并写出简要作法.二、学习新知问题1:作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案,并回答下列问题:(1)如图1,以点O为旋转中心,旋转180°后的图形与原图形是否重合?(2)如图2,绕点O旋转180°后,各对对应点与旋转中心是否在一条直线上?问题2:随便画一个三角形,以三角形一顶点或三角形外一点为对称中心,画出三角形关于这个对称中心的对称图形,并分组讨论能得到什么结论.【例1】如图,已知△ABC和点O,画出△DEF,使△DEF和△ABC关于点O成中心对称.【例2】如图,已知AD是△ABC的中线,画出以点D为对称中心,与△ABD成中心对称的三角形.三、课堂练习1.在平面上一个菱形绕它的中心旋转,使它和原来的菱形重合,那么旋转的角度至少是()A.180°B.90°C.270°D.360°2.已知下列命题:①关于中心对称的两个图形一定不全等;②关于中心对称的两个图形是全等图形;③两个全等的图形一定关于中心对称.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.33.下列命题正确的个数是()①两个全等三角形必关于某一点中心对称;②关于某点中心对称的两个三角形是全等三角形;③两个三角形对应点连线都经过同一点,则这两个三角形关于该点中心对称;④关于某点中心对称的两个三角形,对应点连线都经过对称中心.A.1B.2C.3D.44.如图所示的两个图形成中心对称,你能找到对称中心吗?5.如图所示的图形是由两个半圆组成的图形,已知点B是AC的中点.画出此图形关于点B成中心对称的图形.四、自我检测1.画出三角形ABC绕点O逆时针旋转180°后的三角形.2.如图,已知正方形和点O,画一个正方形,使它与已知正方形关于点O成中心对称.3.如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠C=90°,AB=AD,AE⊥BC于点E,若线段AE=5,求S四边形ABCD.4.在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别是AB,AC边上两点,且ED⊥FD,你能证明BE+CF>EF吗?布置作业1.必做题:课本第69页习题23.2第1,2题.2.选做题:课本第70页习题23.2第5题.参考答案一、自主思考具体作法:(1)连接OA,OB,OC,OD;(2)分别以OB,OC为边作∠BOM=∠CON=∠AOD;(3)分别在射线OM,ON上截取OE=OB,OF=OC;(4)依次连接DE,EF,FD所得△DEF就是所求作的三角形,如图所示.二、学习新知问题1:(1)重合(2)在问题2:第一步:画出△ABC.第二步:以△ABC的顶点C(或O点)为中心,旋转180°分别画出△A'B'C或△A'B'C',如图1和图2所示.结论:1.关于中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心平分.2.关于中心对称的两个图形是全等图形.【例1】解:(1)连接AO并延长AO到D,使OD=OA,于是得到点A的对称点D.(2)同样画出点B和点C的对称点E和F.(3)顺次连接DE,EF,FD.则△DEF即为所求的三角形.【例2】解:(1)延长AD,且使AD=DA',因为C点关于点D的中心对称点是B(C'),B点关于中心D的对称点为C(B').(2)连接A'B',A'C'.则△A'B'C'为所求作的三角形,如图所示.三、课堂练习1.A2.B3.B4.解:如图,连对应点A,A1与B,B1,线段AA1与BB1的交点即为对称中心.5.解:根据图形成中心对称图形的特征画出图形如图所示.四、自我检测1.解:分别作三顶点关于点O的对称点即可得到所求作的三角形的顶点,进而作出△A'B'C'.2.解:作图如下.3.解:如图,将△ABE绕点A逆时针旋转90°,由题意易得S四边形ABCD=S正方形AECF=25.4.证明:如图,∵点D是BC的中点,且ED⊥FD.∴可作△BED关于点D的中心对称图形△CGD,连接FG.可证BE=CG,EF=FG.在△CGF中,CG+CF>FG.∴BE+CF>EF.
