第5课时用待定系数法求二次函数的解析式1．已知二次函数图象的顶点坐标为(h，k)时，通常设待求二次函数的解析式为顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．2．已知二次函数图象上三个点的坐标时，通常设待求二次函数的解析式为一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．3．已知二次函数的图象经过x轴上两定点(x10)与(x2,0)时，通常设待求二次函数的解析式为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．4．已知二次函数的图象经过点(1,0)、(0，－3)、(－1，－4)，则此二次函数的解析式为____________．答案：y＝x2＋2x－35．已知二次函数图象的顶点是(－1,2)，且过点.求二次函数的解析式．解：依题意，设此二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋2(a≠0)，又点在它的图象上，可得＝a＋2，解得a＝－.∴该二次函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋2.1．已知三点，求二次函数的解析式【例1】一抛物线与x轴的交点是A(－2,0)、B(1,0)，且经过点C(2,8)．(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标．解：(1)设这个抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由已知，抛物线过A(－2,0)，B(1,0)，C(2,8)三点，得解得∴所求抛物线的解析式为y＝2x2＋2x－4.(2)y＝2x2＋2x－4＝2(x2＋x－2)＝22－，∴该抛物线的顶点坐标为.针对性训练见当堂检测·基础达标栏目第4题2．由图象信息，求二次函数的解析式【例2】如右图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过点A和点B．(1)求该二次函数的表达式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)点P(m，m)与点Q均在该函数图象上(其中m＞0)，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．解：(1)由题图可知，抛物线经过点A(－1，－1)、B(3，－9)，将A、B两点的坐标分别代入y＝ax2－4x＋c，得解得∴该二次函数的表达式为y＝x2－4x－6.(2)∵y＝x2－4x－6＝(x－2)2－10，∴对称轴为x＝2；顶点坐标为(2，－10)．(3)将(m，m)代入y＝x2－4x－6，得m＝m2－4m－6，解得m1＝－1，m2＝6.∵m＞0，∴m＝－1不合题意，舍去．∴m＝6.∵点P与点Q关于对称轴x＝2对称，∴点Q到x轴的距离为6.针对性训练见当堂检测·基础达标栏目第6题1．抛物线y＝ax2＋bx＋11的顶点坐标为(－2,3)，则这个二次函数的解析式为()．A．y＝x2＋8x＋11B．y＝x2－8x＋11C．y＝2x2＋8x＋11D．y＝2x2－8x＋11答案：C2．抛物线y＝－2x2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标为(－1,0)、(3,0)，则y＝－2x2＋bx＋c的函数解析式为()．A．y＝－2x2－x＋3B．y＝－2x2＋4x＋5C．y＝－2x2＋4x＋6D．y＝－2x2＋4x＋8答案：C3．已知当x＝1时，二次函数有最大值5，其图象与y轴交于点(0,3)，那么此函数关系式为()．A．y＝－x2＋2x－3B．y＝－2x2＋4x＋3C．y＝x2－2x＋3D．y＝2x2－4x－7解析：由已知可设所求二次函数为y＝a(x－1)2＋5，其中a＜0，又因为图象与y轴交于点(0,3)，故a＋5＝3，a＝－2，所以函数关系式为y＝－2(x－1)2＋5，即y＝－2x2＋4x＋3.答案：B4．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入…12345…输出…25101726…若输入的数据是x时，输出的数据是y，y是x的二次函数，则y与x的函数表达式为__________．解析：设函数表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，根据题意，得解得a＝1，b＝0，c＝1.∴解析式为y＝x2＋1.答案：y＝x2＋15．抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为__________．解析：由题图知对称轴为x＝1，抛物线与x轴的交点为(3,0)，故另一个交点为(－1,0)，把(3,0)和(－1,0)代入抛物线y＝－x2＋bx＋c，得b＝2，c＝3.所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.答案：y＝－x2＋2x＋36．已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)和点P(t,0)，且t≠0.(1)若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；(2)若t＝－4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．解：(1)ymin＝－3，t＝－6.(2)分别将(－4,0)和(－3，－3)代入y＝ax2＋bx，得解得所以抛物线开口向上．(3)－1(答案不唯一)．
