24.4中位线第1课时三角形的中位线学前温故如图，在△ABC中，D为AB边的中点，且DE∥BC，则E为AC边的____．新课早知1．三角形的中位线____于第三边并且等于__________．2．如图，△ABC的中位线DE长为10，则BC＝__________.3．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是__________．4．三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的______．5．Rt△ABC中，点G是重心，∠C＝90°，AB＝12cm，则GC＝__________cm.答案：学前温故中点新课早知1．平行第三边的一半2．203.矩形4.5.4三角形中位线【例题】如图所示，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，点E是BC的中点．求证：(1)DE∥AB；(2)DE＝(AB－AC)．分析：从要证的结论来看，与三角形中位线类似，而根据已知条件，E为BC的中点，而AD平分∠BAC，又CD⊥AD，则延长CD交AB于F，易证D为CF的中点，AC＝AF，从而问题得证．证明：(1)延长CD交AB于F，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADF＝90°.又∵∠DAC＝∠DAF，AD＝AD，∴△ADC≌△ADF.∴AC＝AF，DC＝DF.又∵E是BC的中点，∴DE∥BF，即DE∥AB．(2)∵D、E分别是BC、CF的中点，∴DE＝BF.∴DE＝(AB－AF)＝(AB－AC)．点拨：在三角形中，涉及中点问题，常需转化为中位线来解决，其中构造中位线是关键，这就是常说的“遇中点，想到中位线”．1．在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DE＝3，则△ABC的周长为()．A．6B．9C．18D．242．如图，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于G，FG＝2，则CF的长为()．A．4B．4.5C．5D．63．如图，DE是△ABC的中位线，△ADE的面积为3cm2，则四边形DBCE的面积为__________．4．如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA、PR的中点．如果DR＝3，AD＝4，则EF的长为__________．5．已知：在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB边的中点．求证：四边形AFDE是平行四边形．答案：1．C2．DG是△ABC的重心，由“三角形重心与一边中点的连线的长度是对应中线长的”求解，即CF＝3FG＝6.3．9cm2由中位线的性质知，DE∥BC，且DE＝BC，所以△ADE∽△ABC，其相似比为1∶2，利用相似三角形的性质求得S△ABC＝12cm2，从而S四边形DBCE＝9cm2.4．2.5利用勾股定理求得AR＝5，再利用三角形中位线定理求得EF＝AR＝2.5.5．证明：∵D、E、F分别是BC、CA、AB边的中点，∴DF、DE是△ABC的中位线．∴DF∥AC，DE∥AB，即DF∥AE，DE∥AF.∴四边形AFDE是平行四边形．
