24.4中位线第1课时三角形的中位线学前温故如图,在△ABC中,D为AB边的中点,且DE∥BC,则E为AC边的____.新课早知1.三角形的中位线____于第三边并且等于__________.2.如图,△ABC的中位线DE长为10,则BC=__________.3.顺次连结菱形各边中点所得的四边形是__________.4.三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心,重心与一边中点的连线的长是对应中线长的______.5.Rt△ABC中,点G是重心,∠C=90°,AB=12cm,则GC=__________cm.答案:学前温故中点新课早知1.平行第三边的一半2.203.矩形4.5.4三角形中位线【例题】如图所示,△ABC中,AB>AC,AD平分∠BAC,CD⊥AD于D,点E是BC的中点.求证:(1)DE∥AB;(2)DE=(AB-AC).分析:从要证的结论来看,与三角形中位线类似,而根据已知条件,E为BC的中点,而AD平分∠BAC,又CD⊥AD,则延长CD交AB于F,易证D为CF的中点,AC=AF,从而问题得证.证明:(1)延长CD交AB于F,∵AD⊥CD,∴∠ADC=∠ADF=90°.又∵∠DAC=∠DAF,AD=AD,∴△ADC≌△ADF.∴AC=AF,DC=DF.又∵E是BC的中点,∴DE∥BF,即DE∥AB.(2)∵D、E分别是BC、CF的中点,∴DE=BF.∴DE=(AB-AF)=(AB-AC).点拨:在三角形中,涉及中点问题,常需转化为中位线来解决,其中构造中位线是关键,这就是常说的“遇中点,想到中位线”.1.在等边△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,DE=3,则△ABC的周长为().A.6B.9C.18D.242.如图,已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点,BE、CF相交于G,FG=2,则CF的长为().A.4B.4.5C.5D.63.如图,DE是△ABC的中位线,△ADE的面积为3cm2,则四边形DBCE的面积为__________.4.如图,已知矩形ABCD,P、R分别是BC和DC上的点,E、F分别是PA、PR的中点.如果DR=3,AD=4,则EF的长为__________.5.已知:在△ABC中,D、E、F分别是BC、CA、AB边的中点.求证:四边形AFDE是平行四边形.答案:1.C2.DG是△ABC的重心,由“三角形重心与一边中点的连线的长度是对应中线长的”求解,即CF=3FG=6.3.9cm2由中位线的性质知,DE∥BC,且DE=BC,所以△ADE∽△ABC,其相似比为1∶2,利用相似三角形的性质求得S△ABC=12cm2,从而S四边形DBCE=9cm2.4.2.5利用勾股定理求得AR=5,再利用三角形中位线定理求得EF=AR=2.5.5.证明:∵D、E、F分别是BC、CA、AB边的中点,∴DF、DE是△ABC的中位线.∴DF∥AC,DE∥AB,即DF∥AE,DE∥AF.∴四边形AFDE是平行四边形.