与坡度、方位角有关的应用问题【学习目标】1．了解坡度、坡角、方位角的概念，学会解决相关问题．2．经历用解直角三角形解决实际问题的过程，体验用数学知识解决实际问题．3．渗透数学来源于实践又服务于实践的观点，培养应用数学的意识，渗透数形结合的思想方法．【学习重点】与坡度、方位角有关的解直角三角形的实际应用．【学习难点】建立直角三角形的模型。情景导入生成问题情景导入：1．如图，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度是h(即线段MN的长)，水平前进的距离是l(即线段PM的长度)．2．在茫茫大海上，我国缉私艇正在执行任务，当行驶到某处时，发现有一只可疑船只，这时测得可疑船只在我船的北偏东40°的方向．在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到如何描述一个物体的方位．若可疑船的位置不停移动，同学们能否描述缉私艇的航线，探求其规律呢？自学互研生成能力阅读教材P127，完成下面的内容：在情景导入的图中，从山坡脚下点P上坡走到点N时，升高的高度h(即线段MN的长)与水平前进的距离l(即线段PM的长)的比叫作坡度，用字母i表示，即i＝．其中∠MPN叫作坡角(即PM与PN的夹角)，记作α．【例1】同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，＝，＝，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)．FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝≈0.3333，所以α≈18°26′. ＝sinα，∴AB＝＝≈72.7(m)．答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长度约为72.7米。阅读教材P128，完成下面的内容：试一试：如图，你能准确描述下列方向吗？OA：南偏西65°；OB：南偏东60°；OC：北偏东45°；OD：北偏西40°．归纳：在正确理解方位角的概念的基础上，灵活运用解直角三角形的知识解决实际问题．【例2】在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN(如图)，在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距8km的C处．(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果)；(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．解：(1) ∠1＝30°，∠2＝60°，∴△ABC为直角三角形． AB＝40km，AC＝8km，∴BC＝＝＝16(km)． 1小时20分钟＝80分钟，1小时＝60分钟，∴×60＝12(千米/小时)．(2)作线段BR⊥x轴于R，作线段CS⊥x轴于S，延长BC交l于T. ∠2＝60°，∴∠4＝90°－60°＝30°. AC＝8(km)，∴CS＝8sin30°＝4(km)．∴AS＝8cos30°＝8×＝12(km)．又 ∠1＝30°，∴∠3＝90°－30°＝60°. AB＝40km，∴BR＝40·sin60°＝20(km)．∴AR＝40×cos60°＝40×＝20(km)．易得，△STC∽△RTB，∴＝，＝，解得：ST＝8(km)．∴AT＝12＋8＝20(km)．又 AM＝19.5km，MN长为1km，∴AN＝20.5km. 19.5
