一元二次方程根的判别式【学习目标】掌握b2－4ac＞0，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根，反之也成立；b2－4ac＝0，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，反之也成立；b2－4ac＜0，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，反之也成立；及其它们关系的运用．【学习重点】b2－4ac＞0一元二次方程有两个不相等的实数根；b2－4ac＝0一元二次方程有两个相等的实数根；b2－4ac＜0一元二次方程没有实数根．【学习难点】含有字母系数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的b2－4ac的情况与根的情况的关系．情景导入生成问题用公式法解下列方程．(1)x2＋x－1＝0；(2)x2－2x＋1＝0；(3)2x2－2x＋1＝0自学互研生成能力阅读教材P31～P32的内容．在推导一元二次方程求根公式的配方过程中，得到(x＋)2＝(*)，只有当b2－4ac≥0时，才能直接开平方，得x＋＝±也就是说，只有当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的系数a、b、c满足条件b2－4ac≥0时才有实数根，因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况．分析：观察方程(*)，我们发现有如下三种情况：(1)当b2－4ac＞0时，方程(*)的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根：x1＝，x2＝；(2)当b2－4ac＝0时，方程(*)的右边是0，因此方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝－；(3)当b2－4ac＜0时，方程(*)的右边是一个负数，而对于任何实数x，方程左边(x＋)2≥0，因此方程没有实数根．b2－4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根的情况；当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．归纳：应用：(1)不解方程，判别方程根的情况．注：先化成一般形式．(2)已知根的情况，求字母的取值范围．注：考虑二次项系数不能为0.范例1：不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)3x2＝5x－2；(2)4x2－2x＋＝0；(3)4(y2＋1)－y＝0.解：(1)3x2－5x＋2＝0，∵Δ＝(－5)2－4×3×2＝1＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)∵Δ＝(－2)2－4×4×＝0，∴原方程有两个相等的实数根．(3)4y2－y＋4＝0，∵Δ＝(－1)2－4×4×4＝－63＜0，∴原方程无实数根．范例2：求证：关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0总有两个不相等的实数根．证明：∵Δ＝(2k)2－4×1×(k－1)＝4k2－4k＋4＝4(k－)2＋3又(k－)2≥0，∴Δ＝4(k－)2＋3＞0.∴关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0总有两个不相等的实数根．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一一元二次方程根的判别式的推导知识模块二一元二次方程根的判别式的应用检测反馈达成目标1．关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为(B)A．m＞B．m＜C．m＝D．m＜－2．若关于x的方程kx2－2x－1＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是(C)A．k＞－1B．k＜1且k≠0C．k≥－1且k≠0D．k＞－1且k≠03．已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是__0__．4．已知关于x的方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)求证：x＝－1不可能是此方程的实数根．解：(1)∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(k＋1)2－4k2＞0，∴k＞－；(2)证明：∵当x＝－1时，方程左边＝1＋2k＋2＋k2＝k2＋2k＋3＝(k＋1)2＋2＞0，而右边＝0，∴左边≠右边，∴x＝－1不可能是此方程的实数根课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________
