寒假专题——数学规律探索题【本讲教育信息】一.教学内容：寒假专题——数学规律探索题【典型例题】例1.一个用数字1和0组成2002位的数码，其排列规律是101101110101101110101101110…，则这个数码中，数字“0”共有（）A.666个B.667个C.668个D.223个分析：由给定的数可知：九个数码的“101101110”是一个循环结，这里有3个0。而一共有2002个数码，因此用2002÷9=222……4，最后还余四个数码“1011”。所以一共有（3×222+1）=667个“0”答：选B。说明：关键在于找出循环结。例2.下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（其中为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出展开式中所缺的系数。+分析：根据杨辉三角系数表，向下递推知：则按照这样的规律第2项系数为4。答：+说明：要准确地从给出的系数表内找出规律并能往下递推。例3.观察下列分母有理化的计算：，，，，…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：=。分析：从给定的几个等式中可以发现：相邻两个数平方根的和的倒数就等于它们的差（大的减小的）解：说明：找出数与数之间的关系。有时候很多有规律的数相加的时候可以转化一下利用错位相减方法，从而使得计算简化。例4.观察下列方程：⑴；⑵；⑶；……按此规律写出关于的第个方程为，此方程的解为。分析：按照给定形式推导：发生变化的地方是的系数和等于号后面的数值。的系数的变化规律是：1×2=2；2×3=6；3×4=12；4×5=20……n×(n+1)=n(n+1)等于号后面的数值的变化规律则为：1+2=3；2+3=5；3+4=7；4+5=15……n+(n+1)=2n+1解：第个方程为，此方程的解为说明：此题稍难，但若能跳出给定的模式，而转向方程的解去考虑则化难为易。例5.观察下面一列数的规律并填空：0，3，8，15，24…，则它的第2002个数是。分析：由于要求的是第2002个数，则我们需要找出这列数的第n个数的表示形式。；；；；……解：第2002个数是=4008003说明：题目中虽然没有要求表示出第n个数，但是我们依然从这里入手才好把一个很大的项数的值求出来。例6.如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去。试利用图形揭示的规律计算：=。分析：如图所示：解：例7.观察下列各式：；；；；……想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设表示正整数，用关于的等式表示这个规律为：×=＋。分析：抓住给定的形式即可。解：说明：例8.如图，有边长为1的等边三角形卡片若干张，使用这些三角形卡片拼出边长分别是2，3，4，…的等边三角形（如图所示）。根据图形推断，每个等边三角形所用卡片总数与边长的关系式是。分析：边长为1时，使用1个等边三角形边长为2时，使用4个等边三角形边长为3时，使用9个等边三角形边长为4时，使用16个等边三角形……边长为时，使用个等边三角形解：=说明：从图形入手，但可以从数字的规律上找图形规律。【模拟试题】（答题时间：30分钟）1.观察下面的三个等式：，，，请猜测：_____________。2.观察下列各式：；；；……；……请你将猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来：。3.观察下列算式：；；；；；……若字母表示自然数，请把你观察到的规律用含的式子表示出来.你认为的正确答案是。4.观察下面一列有规律的数，并根据此规律写出第五个数，，，，，，，…5.如图，是2002年6月份的日历。现用一矩形任意框出4个数，请用一个等式表示、、、之间的关系：。6.按下图方式摆放餐桌和椅子。即一张餐桌可坐6人，两张餐桌可坐10人，三张餐桌可坐14人，…，按此规律推断，张餐桌可坐人数为。7.如图1，是棱长为的小正方体，图2，图3由这样的小正方体摆放而成。按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层、第二层、……、第层，第层的小正方体的个数记为。解答下列问题：（1）按照要求填表：1234…136…（2）写出当=10时，=。【试题答案】1.2.或者3.4.5.a+d=b+c6.4n+27.（1）1234…13610…（2）当=10时，=55
