幂的运算【本讲教育信息】一.教学内容：幂的运算——同底数幂的乘法、除法，幂的乘方与积的乘方［目标］1.掌握同底数幂的乘、除法，幂的乘方法则与积的乘方法则。2.会双向应用幂的乘方公式与积的乘方公式。3.会区分积的乘方，幂的乘方和同底数幂乘法、除法。4.明确零指数幂、负整数指数幂的意义，并能与幂的运算法则一起进行运算，并能解决一些实际问题。二.重、难点：1.掌握同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方，知道它们的联系和区别，并能运用它们熟练进行有关计算。2.同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方运算法则的推导过程。3.理解零指数幂、负整数指数幂的意义。4.培养我们的归纳能力、化归思想和创新意识，并能养成“以理驭算”的良好运算习惯。三.知识要点（1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加，即（2）幂的乘方：底数不变，指数相乘，即（3）积的乘方：等于每个因式分别乘方，即法则的推广：当n是正整数时，［注意］①幂的底数和指数不仅仅是单独字母或数字，也可以是某个单项式和多项式.②幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的异同③多重乘方可以重复运用上述幂的乘方法则：④幂的乘方公式可逆用：（4）同底数幂相除：底数不变，指数相减，即（a≠0）［注意］幂运算最后结果中幂的形式应是最简的：①幂的指数、底数都应是最简的；②底数中系数不能为负；③幂的底数是积的形式时，要再用一次（5）零指数和负指数：规定，（其中a≠0，p为正整数）法则的推广：（其中，m、n均为整数）（6）科学计数法：的形式（其中1≤a<10,n取小数点移动位数，向右移动取负，向左移动取正）［说明］①微米：μm表示微米1μm=mm=m②纳米：nm表示纳米，是长度单位，1纳米为十亿分之一米。1nm=m刻度尺上的一小格是1mm，1nm是1mm的百万分之一。难以相像1nm有多么小！将直径为1nm的颗粒放在1个铅球上，约相当于将一个铅球放在地球上。备注：本章主要考察公式及公式的逆用，在应用公式时，要注意公式成立的条件。【典型例题】例1.求下列各式中n的值（1）（2）（3）分析：同底数幂相等，则指数相等。解：（1） ，又 ∴解得：（2） ∴解得：（3） ∴解得：说明：不同底的有时可以转化为同底。如：2，4，8，16……，3，9，27，81……等。例2.（1）已知（2）若n为正整数，且的值.分析：逆用同底数幂乘法与幂的乘方法则。解：（1） ∴（2）=======50×49=2450说明：灵活应用。例3.计算:（1）（2）（3）（4）（试用简便方法）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（－2）3×（－2）－2－（－32）÷（）－2＋（－100）0分析：利用乘法的交换律和结合律进行简便运算。解：（1）（2）（3）（4）==（5）（6）（7）（8）（9）（10）（－2）3×（－2）－2－（－32）÷（）－2＋（－100）0=（－2）3－2－（－9）÷＋1=（－2）＋4＋1=3说明：反向使用、可使某些计算简捷。例4.如果，求m，n的值.分析：本题虽然出现两个未知数，但是分别由两个关于幂的等式得到两个式子。联立解二元一次方程组即可。解：由题意可知解得：例5.计算解：原式===说明：关于幂的次数经常会讨论其奇偶性。例6.解关于x的方程：（1）；（2）3x+1·2x+1=62x－3解：（1）∴（2）3x+1·2x+1=62x－3（3×2）x＋1=62x－36x＋1=62x－3∴x＋1=2x－3x=4例7.若，。则的末位数是多少？解：原式===∴的末位数字是3，∴原式的末位数字是说明：此题较难，关键在于找到循环规律。例8.已知，，试说明。分析：两分数相等，通常我们都先保证分母或者分子部分的相等，在观察另一部分是否相等。若等，则两分数相等，否则就不等。解：例9.已知a=－（0.3）2,b=－3－2,c=（－）－2,d=（－）0,试比较a、b、c、d的大小，并用“＜”号连接起来。分析：要比较大小，就要有统一的形式，因此我们把给出的幂的形式进行化简。解：a=－（0.3）2=－0.09b=－3－2=－0.11c=（－）－2=9d=（－）0=1 0.11<－0.09<1<9∴b
