初三数学第一学期一元二次方程的解法因式分解法、分式法一元二次方程的应用一.本周教学内容：一元二次方程的解法——因式分解法、分式法；一元二次方程的应用二.重点、难点重点：1.因式分解法、公式法解一元二次方程2.一元二次方程的应用难点：一元二次方程的应用知识精讲与例题分析：（一）知识精讲1.一元二次方程的解法（1）因式分解法：把一元二次方程通过分解因式化成一边是两个一次式的积，另一边是零的形式，再化成两个一元一次方程，从而求出一元二次方程的解的方法叫做因式分解法。①因式分解法根据的是，则a＝0或b＝0。②运用因式分解法解一元二次方程时，必须先将方程变形为□＝0的形式，再将左边分解因式变形为的形式，然后得到两个一元一次方程，并分别求两个一元一次方程的解，从而求出原方程的解。③因式分解法解一元二次方程的本质是将一元二次方程降次变形为两个一元一次方程。由此求解一元二次方程。④能用直接开平方法求解的一元二次方程，都可用因式分解法来求解。（2）公式法：把一元二次方程化成一般形式后，把各项系数a、b、c的值代入求根公式中，直接求得方程的解。这种解方程的方法叫做公式法。①运用公式法求解一元二次方程时，需先将其转化成一般形式（），再明确a、b、c的值，并求出的值，当时，即可将a、b、c及的值代入公式中求出方程的解。②因为负数没有平方根，故当时，无意义，从而原方程无实数根。③求根公式的推导运用的是配方法，还可用另一种方法推导：在方程的两边都乘以4a，得。移项，得，两边都加上，得，得。当时，是的平方根，故，即有。用配方法解一元二次方程时，也可用这种方法。2.列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）分析题意，找出主要的数量关系；（2）设出未知数，并列出方程；（3）解方程；（4）检验所得方程的解是否符合题意；（5）得到原问题的答案。【典型例题】命题方向：考查因式分解法例1.用因式分解法解下列方程：（1）（2）（3）（4）（5）（6）分析：（1）（2）（4）中都有公因式可提，（3）（6）符合十字相乘，（5）变形后也可用十字相乘。解：（1）（2）（3）或（4）（5）原方程可化为（6）点评：因式分解法的步骤是：①方程右边化为0，②左边化为两个因式的积，③每一个因式等于0，④解这两个一元一次方程。命题方向：考查公式法例2.用公式法解下列方程：（1）（2）（3）（4）分析：解（2）（4）时需先化成一般形式，确定a、b、c的值，然后检验其判别式，当时，继续求解，当时可说明方程无解。解：（1）（2）原方程可化为（3）原方程无实根（4）原方程可化为点评：用公式法解一元二次方程，常会忽视，解题的关键是熟记的求根公式，注意应用时首先要将原方程化成一般形式，以便于确定a、b、c的值。还有（2）中的解不要写成，这样会给人以此方程只有一解的印象，其实此方程应认为有两个相等的解。例3.某厂今年的产值为1600万元，计划通过改革技术，使今后两年的产值都比前一年增长相同的百分数。这样三年的总产值达到7600万元。求这个百分数。分析：设这个百分数为x，则明年的产值为万元，后年的产值为万元。这样三年的总产值为万元。解：设这个百分数为x。根据题意，得整理，得解这个方程，得由于这个增长率不可能为负数，故不合题意，应舍去。即。答：这个百分数是50％。点拨：选用x的代数式分别表示这两年的产值，从而表示三年的总产值，再由已知建立方程。要注意这里的7600不是第三年一年的产值，而是这三年的总产值。例4.某企业1999年初投资100万元生产适销对路的产品，1999年底将所获得的利润与年初的投资的和作为2000年初的投资，到2000年底，两年共获利润56万元。已知2000年的年获利率比1999年的年获利率多10个百分点（即2000年的年获利率是1999年的年获利率与10％的和）。求1999年和2000年的年获利率各是多少？分析：设1999年的年获利率为x%，则2000年的年获利率是。于是1999年底的获利为万元，2000年初的投资为万元，2000年底的获利为万元。故。解：设1999年的年获利率为x％，则2000年的年获利率为。根据题意得整理，得解这个方程，得显然年获利率不能为负数，故不合题意，应舍去。故x＝20。从而x%＝20...
