综合性问题一、选择题1.（2016·湖北鄂州）如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为（）A.5B.7C.8D.【考点】菱形的性质，梯形，轴对称（折叠），等边三角形的判定和性质，最值问题．【分析】如下图所示，由题意可知，△ABC为等边三角形；过C作CH⊥AB，则AH=HB；连接DH；要使CA′的长度最小，则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A′应落在CH上，且对称轴PQ应满足PQ∥DH；因为BP=3，易知HP=DQ=1，所以CQ=7.【解答】解：如图，过C作CH⊥AB，连接DH； ABCD是菱形，∠B=60°∴△ABC为等边三角形；∴AH=HB==4； BP=3，∴HP=1要使CA′的长度最小，则梯形APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A′应落在CH上，且对称轴PQ应满足PQ∥DH；由作图知，DHPQ为平行四边形∴DQ=HP=1，CQ=CD-DQ=8-1=7.故正确的答案为：B．【点评】本题综合考查了菱形的性质，梯形，轴对称（折叠），等边三角形的判定和性质，最值问题．本题作为选择题，不必直接去计算，通过作图得出答案是比较便捷的方法。弄清在什么情况下CA′的长度最小（相当于平移对称轴）是解决本题的关键.2.(2016·四川资阳)如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则mn﹣等于（）A．2B．3C．4D．无法确定【考点】三角形的面积．【分析】设空白出的面积为x，根据题意列出关系式，相减即可求出mn﹣的值．【解答】解：设空白出图形的面积为x，根据题意得：m+x=9，n+x=6，则mn=96=3﹣﹣．故选B．3.(2016·四川自贡)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，反比例函数y=与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的性质；正比例函数的图象；反比例函数的图象．【分析】根据函数图象的开口方向，对称轴，可得a、b的值，根据a、b的值，可得相应的函数图象．【解答】解：由y=ax2+bx+c的图象开口向下，得a＜0．由图象，得﹣＞0．由不等式的性质，得b＞0．a＜0，y=图象位于二四象限，b＞0，y=bx图象位于一三象限，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，利用函数图象的开口方向，对称轴得出a、b的值是解题关键．4．（2016·山东枣庄）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则一次函数的图象可能是【答案】B.考点：根的判别式；一次函数的性质.二、填空题1．（2016·湖北鄂州）如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点。当△APB为直角三角形时，AP＝.【考点】外接圆，切线，直角三角形的判定，勾股定理，三角函数，分类讨论思想．【分析】确定P点在直线l上的位置是解决本题的关键。要使△APB为直角三角形，我们就联想到以AB为直径的外接圆，但AB也有可能为直角边，所以要分类讨论。我们将满足条件的P逐一画在图上。如图，P1，P2在以O为圆心的外接圆上，P1，P2在⊙O的切线上，再根据题目的已知条件逐一解答即可。【解答】解：分类讨论如下：（1）在Rt△AP1B中， ∠1＝120°，OP1=OB，∴∠OBP1=∠OP1B=30°，∴AP1=AB=×6=3；（2）在Rt△AP2B中， ∠1＝120°，OP2=OB，∴∠P2BO=∠OP2B=60°，∴AP2=AB=cos∠OBP2×6=×6=3；（3）P3B为以B为切点的⊙O的切线， ∠1＝120°，OP2=OB，∴∠P2BO=∠OP2B=60°，∴∠P3OB=60°，在Rt△OP3B中，∴BP3=tan∠P3OB×3=×3=3;在Rt△AP3B中，AP3===3；（4）P4B为以A为切点的⊙O的切线， ∠1＝120°，OP1=OA，∴∠P1AO=∠OP1A=60°，∴∠P4OA=60°，在Rt△OP4A中，∴AP4=tan∠P4OA×3=×3=3.综上，当△APB为直角三角形时，AP＝3，或3，或3.故答案为：3或3或3.【点评】本题考查了外接圆，切线，直角三角形的判定，勾股定理，三角函数，分类讨论思想．注意分类讨论思想的运用；本题难度虽然不大，但容易遗漏.四种情况中，有两种情况的结果相同。2.（2016.咸宁）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是AB上的一动点（不与A、B重合），点F是BC上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF=90°，有下列结论：①AE=BF；②△OGH是等腰直角三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小...
