重庆理工大学硕士研究生招生考试试题专用纸重庆理工大学2019年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：理学院学科、专业名称：数学考试科目（代码）：高等代数（822）（A卷）（试题共3页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题附在考卷内交回。一、填空题（每题4分，共20分）1.设为阶方阵,有非零解,则必有一个特征值是______.2.设3维列向量,,线性无关,是3阶方阵,且,,,则=_______.3.已知阶方阵的特征值为,,，则A的伴随矩阵的迹（主对角线元素之和）为________.4.在中,若线性变换关于基,,的矩阵为,则关于基,,的矩阵为________.5.设阶方阵的秩为1,则=__________.二、（15分）（1）（7分）证明：在有理数域上不可约；重庆理工大学硕士研究生招生考试试题专用纸（2）（8分）求的全部有理根.第1页三、（15分）设,（1）（7分）计算的值,其中是中元素的代数余子式；（2）（8分）问是否可逆？若可逆，求，其中为的伴随矩阵.四、（20分）设有向量组：及向量,问为何值时（1）（6分）向量可由向量组线性表示，且表示式唯一；（2）（7分）向量可由向量组线性表示，但表示式不唯一；（3）（7分）向量不能由向量组线性表示.五、（20分）设非齐次线性方程组,秩,重庆理工大学硕士研究生招生考试试题专用纸（1）（10分）若有一个解,是其导出组的一个基础解系,证明：线性无关；（2）（10分）若为的解，证明：也是的解，其中为实数,且.第2页六、（20分）已知、为阶方阵,,,其中为阶单位矩阵,（1）（10分）证明：可逆,并求其逆（用或表示）；（2）（10分）若,求矩阵.七、（20分）已知二次型,且是矩阵的一个特征向量,（1）（6分）求的值；（2）（7分）求正交变换,将二次型化为标准形；（3）（7分）当时,求的最大值.重庆理工大学硕士研究生招生考试试题专用纸八、（20分）设,是数域上所有2阶方阵构成的集合,（1）（8分）证明：是的子空间；（2）（12分）求的一般形式、基和维数.第3页
