训练目标(1)平面向量与三角函数知识的综合训练；(2)转化与化归的数学思想.训练题型(1)以向量为载体，研究三角函数的性质；(2)利用向量解决三角函数的图象问题；(3)向量与三角形的综合.解题策略(1)以向量为载体的综合问题，要利用向量的运算及性质进行转化，脱去向量外衣，转化为三角函数问题；(2)利用向量解决三角函数问题，可借助三角函数的图象、三角形中边角关系式.1．设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α＝________.2．(2015·福州质检)在△ABC中，满足|AC|＝|BC|，(AB－3AC)⊥CB，则角C＝________.3．设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________.4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，AB·AC＝3，则△ABC的面积为________．5.如图所示，点P是函数y＝2sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0)的图象的最高点，M、N是该图象与x轴的交点，若PM·PN＝0，则ω＝________.6．(2015·眉山一模)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(sinB，a＋c)，q＝(sinC－sinA，b－a)．若∃λ∈R，使p＝λq，则角C＝________.7.已知函数y＝tan(x－)的部分图象如图所示，则(OA＋OB)·AB＝________.8．函数y＝sin(x＋)的部分图象如图所示，则(OA－OB)·AB等于________．9．(2015·江苏徐州第三次质量检测)如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为半径OP，OQ的中点，A为弧PQ上任意一点，则AM·AN的取值范围是________．10．已知向量m＝(sin，1)，n＝(cos，cos2)．(1)若m·n＝1，求cos(－x)的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．答案解析1.解析由|2a＋b|＝|a－2b|得3|a|2－3|b|2＋8a·b＝0，而|a|＝|b|＝1，故a·b＝0，所以cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即cos(α－β)＝0，由于0<α<β<π，故－π<α－β<0，所以α－β＝－，即β－α＝.2.解析设△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，由(AB－3AC)⊥CB，可得(AB－3AC)·CB＝(AB－3AC)·(AB－AC)＝c2＋3b2－4AB·AC＝c2＋3b2－4cbcosA＝c2＋3b2－2(b2＋c2－a2)＝0，即b2－c2＋2a2＝0.又由|BC|＝|AC|可得a＝b，则c2＝3a2，由余弦定理可得cosC＝＝＝－，所以△ABC的内角C＝.3.解析∵a∥b，∴sin2θ×1－cos2θ＝0，∴2sinθcosθ－cos2θ＝0，∵0<θ<，∴cosθ>0，∴2sinθ＝cosθ，∴tanθ＝.4．2解析由cos＝，可得cosA＝2cos2－1＝，从而sinA＝，∵AB·AC＝|AB|·|AC|cosA＝3，∴|AB|·|AC|＝5.∴S△ABC＝|AB|·|AC|sinA＝×5×＝2.5.解析因为PM·PN＝0，所以PM⊥PN，又P为函数图象的最高点，M、N是该图象与x轴的交点，所以PM＝PN，yP＝2，所以MN＝4，所以T＝＝8，所以ω＝.6.解析∵∃λ使得p＝λq，∴p∥q.∴(a＋c)(sinC－sinA)－(b－a)sinB＝0.由正弦定理可得(a＋c)(c－a)－(b－a)b＝0，化为c2－a2－b2＋ab＝0，由余弦定理可得cosC＝＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.7．6解析y＝tan(x－)＝0⇒x－＝kπ(k∈Z)⇒x＝4k＋2(k∈Z)，由图可得A(2,0)，由y＝tan(x－)＝1⇒x－＝kπ＋(k∈Z)⇒x＝4k＋3(k∈Z)，由图可得B(3,1)，所以OA＋OB＝(5,1)，AB＝(1,1)，所以(OA＋OB)·AB＝5×1＋1×1＝6.8．－2解析因为y＝sin(x＋)，令y＝0，得sin(x＋)＝0，可得x＋＝kπ(k∈Z)，即x＝－6＋4k(k∈Z)，由图象可知A(2,0)，即OA＝(2,0)．同理，令y＝1，得sin(x＋)＝1，再结合图象可求得B(3,1)，即OB＝(3,1)．所以AB＝(1,1)，(OA－OB)·AB＝BA·AB＝－AB2＝－2.9．[，]解析建立如图所示直角坐标系，则A(2cosθ，2sinθ)(0°≤θ≤120°)，M(－，)，N(1,0)，AM＝(－－2cosθ，－2sinθ)，AN＝(1－2cosθ，－2sinθ)，所以AM·AN＝(－－2cosθ)(1－2cosθ)＋(－2sinθ)·(－2sinθ)＝－2sin(θ＋30°)．因为0°≤θ≤120°，所以30°≤θ＋30°≤150°，≤sin(θ＋30°)≤1，≤AM·AN≤.10．解m·n＝sincos＋cos2＝sin＋×cos＋＝sin(＋)＋.(1)∵m·n＝1，∴sin(＋)＝，cos(x＋)＝1－2sin2(＋)＝，cos(－x)＝－cos(x＋)＝－.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)·cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，∴cosB＝，又∵B∈(0，π)，∴B＝.∴0
