训练目标(1)等差数列、等比数列知识的综合应用；(2)学生解题能力的培养.训练题型(1)利用基本量法求数列通项；(2)利用数列的性质求解数列问题；(3)数列和函数的综合应用.解题策略(1)用列方程(组)的方法可以解决等差、等比数列基本量的问题；(2)恰当选用数列的性质可简化计算.1．(2015·福建闽南四校期末)已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2＝________.2．(2015·洛阳期末)已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则＝________.3．(2015·郑州质检)已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2a＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11＝________.4．(2015·河北邢台一中期末)已知正项等差数列{an}满足an＋1＋an－1＝a(n≥2)，等比数列{bn}满足bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，则log2(a2＋b2)＝________.5．(2015·达州统考)已知数列{an}为等差数列，数列{bn}是各项为正数的等比数列，其公比q≠1.若a4＝b4，a12＝b12，则a8________b8.(填“>”、“<”或“＝”)6．(2015·厦门质检)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.7．(2015·陕西西安六校联考)已知实数a1，a2，a3，a4依次构成公差不为零的等差数列，若去掉其中一个数后，其余三个数按原来顺序构成一个等比数列，则此等比数列的公比为________．8．(2015·河北名校联考)已知向量a＝(2，－n)，b＝(Sn，n＋1)，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和．若a⊥b，则数列{}的最大项的值为________．9．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝________.10．(2015·茂名模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且2nSn＋1－2(n＋1)Sn＝n(n＋1)(n∈N*)，数列{bn}满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，b3＝5，其前9项和为63.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)令cn＝＋，数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有Tn－2n∈[a，b]，求b－a的最小值．答案解析1．3解析∵a1，a2，a5成等比数列，∴a＝a1·a5，∴a＝(a2－2)(a2＋6)，解得a2＝3.2．3解析∵a2，a4，a8成等比数列，∴a＝a2a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，∴a1＝d，∴＝＝3.3．8解析由已知，得2a＝a4＋3a8＝a1＋3d＋3a1＋21d＝4a1＋24d＝4(a1＋6d)＝4a7，∴a7＝2或a7＝0(舍去)，∴b7＝2，∴b2b8b11＝b1q·b1q7·b1q10＝bq18＝(b1q6)3＝b＝8.4．2解析由题意可知an＋1＋an－1＝2an＝a，解得an＝2(n≥2)．又因为bn＋1bn－1＝b＝2bn(n≥2)，所以bn＝2(n≥2)，所以log2(a2＋b2)＝log24＝2.5．>解析∵{bn}为等比数列，其公比q≠1，∴b4≠b12，∴a4≠a12，∴a8＝>＝＝b8.6．50解析lna1＋lna2＋…＋lna20＝lna1a2…a20，而a1a20＝a2a19＝…＝a9a12＝a10a11＝e5，所以lna1a2…a20＝ln(e5)10＝50.7.或2解析设公差为d，公比为q，若去掉a1，则a＝a2a4，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋3d)，所以d＝0(舍去)；若去掉a2，则a＝a1a4，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，所以a1＝－4d，则q＝＝＝＝；若去掉a3，则a＝a1a4，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，所以a1＝d，则q＝＝＝2；若去掉a4，则a＝a1a3，即(a1＋d)2＝a1(a1＋2d)，所以d＝0(舍去)．8.解析∵a⊥b，∴a·b＝2Sn－n(n＋1)＝0，∴Sn＝，∴an＝n.∴＝＝，当n＝2时，n＋取最小值4，此时取到最大值.9.＋解析由题意设等差数列公差为d，则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a＝a1a6，即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0.∵d≠0，∴d＝，∴Sn＝na1＋d＝＋.10．解(1)由2nSn＋1－2(n＋1)Sn＝n(n＋1)，得－＝，所以数列{}是首项为1，公差为的等差数列．因此＝S1＋(n－1)×＝1＋(n－1)×＝n＋，即Sn＝.于是an＋1＝Sn＋1－Sn＝－＝n＋1.因为a1＝1，所以an＝n.又因为bn＋2－2bn＋1＋bn＝0，所以数列{bn}是等差数列．由S9＝＝63，b3＝5，得b7＝9.所以公差d＝＝1，所以bn＝b3＋(n－3)×1＝n＋2.(2)由(1)知cn＝＋＝＋＝2＋2(－)，所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝2n＋2×(1－＋－＋－＋…＋－＋－)＝2n＋2(1＋－－)＝3－2(＋)＋2n.所以Tn－2n＝3－2(＋)．设An＝Tn－2n＝3－2(＋)．因为An＋1－An＝3－2(＋)－[3－2(＋)]＝2(－)＝>0，所以{An}单调递增，故(An)min＝A1＝.因为An＝3－2(＋)<3，所以≤An<3.因为对任意正整数n，Tn－2n∈[a，b]，所以a≤，b≥3，即a的最大值为，b的最小值为3，所以(b－a)min＝3－＝.
