第3讲平面向量1．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．[解析]由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得[答案]－2．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知平面向量a，b是互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝－1，则|a－2b＋3c|＝________．[解析]设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，则c·a＝x＝－1，c·b＝y＝－1，所以c＝(－1，－1)，所以a－2b＋3c＝(－2，－5)，所以|a－2b＋3c|＝＝．[答案]3．(2019·南京、盐城高三模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，DC＝2BD，则AD·BC的值为________．[解析]由DC＝2BD，得AD＝(AC＋2AB)，又BC＝AC－AB，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，所以AD·BC＝(AC＋2AB)·(AC－AB)＝(－9＋3)＝－2．[答案]－24．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角θ＝________．[解析]因为a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝2＋a2＝3．所以cosθ＝＝＝．所以向量a与b的夹角为．[答案]5．(2019·无锡市高三模拟)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围为________．[解析]法一：由|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，作向量OA＝α，AB＝β－α，则OB＝β，在△OAB中，∠OAB＝180°－120°＝60°，OB＝1，则由正弦定理＝，得OA＝sin∠ABO∈，即0<|α|≤．法二：设|α|＝u，|β－α|＝v，由|β|2＝|α＋(β－α)|2＝α2＋2α·(β－α)＋(β－α)2，得v2－uv＋u2－1＝0，再由关于v的一元二次方程有解，得u2－4(u2－1)≥0，又u>0，故0
