第三章导数及其应用第3讲导数与函数的极值、最值习题理新人教A版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.函数f(x)＝2x3－6x2－18x－7在[1，4]上的最小值为________.解析f′(x)＝6x2－12x－18＝6(x2－2x－3)＝6(x－3)(x＋1)，由f′(x)＞0，得x＞3或x＜－1；由f′(x)＜0，得－1＜x＜3，故函数f(x)在[1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，∴f(x)min＝f(3)＝2×27－6×9－18×3－7＝－61.答案－612.函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是________.解析 f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R上单调递增，故f(x)无极值点.答案03.(2015·泰州调研)函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，则b的取值范围是________.解析由f(x)＝x3－3bx＋3b，得f′(x)＝3x2－3b.由已知可得f′(x)＝3x2－3b在(0，1)上与x轴有交点，且满足即∴0＜b＜1.∴b的取值范围是(0，1).答案(0，1)4.(2015·扬州模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.解析由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则解得或经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.答案－75.(2016·长沙模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________.解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4a2－4×3×(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0.∴a＞6或a＜－3.答案(－∞，－3)∪(6，＋∞)6.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是________.解析 y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a. 函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解， x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.答案(－∞，－1)7.已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.解析由题意，得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x＝±2，又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，M－m＝32.答案328.(2015·苏、锡、常、镇模拟)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d在x＝0处有极大值1，在x＝2处有极小值0，则常数a，b，c，d分别为________，________，________，________.解析f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，则即解得a＝，b＝－，c＝0，d＝1.答案01二、解答题9.(2016·徐州一检)当a∈时，函数f(x)＝ax－1＋lnx在区间(0，e)上的最大值为－4，求a的值.解由题意f′(x)＝a＋，令f′(x)＝0，解得x＝－. a∈，∴0＜－＜e，由f′(x)＞0，解得0＜x＜－，由f′(x)＜0，解得－＜x＜e.从而f(x)的单调增区间为，减区间为.∴f(x)max＝f＝－1－1＋ln＝－4，解得a＝－e2.10.(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(a>0，r>0).(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值.解(1)由题意知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞).f(x)＝＝，f′(x)＝＝.所以当x<－r或x>r时，f′(x)<0，当－r0.因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x)的单调递增区间为(－r，r).(2)由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减.因此，x＝r是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝＝＝＝100.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________.解析对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又 f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1，1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.答案－1312.(2016·南通调研)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是________.解析若函数f(x)在区间上无极值，则当x∈时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0恒成立或当x∈时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0恒成...
