第3课时导数与函数的综合问题题型一导数与不等式有关的问题命题点1解不等式例1设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是________________.答案(－∞，－2)∪(0,2)解析 当x>0时，′<0，∴φ(x)＝为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0
0，此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数.故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2).命题点2证明不等式例2(2016·全国丙卷)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1<0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.(2)证明由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.所以当x≠1时，lnx0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减.所以x＝1为极大值点，所以00，所以g(x)为单调增函数，所以g(x)≥g(1)＝2，故k≤2.所以实数k的取值范围是(－∞，2].引申探究本题(2)中，若改为存在x0∈[1，e]，使不等式f(x)≥成立，求实数k的取值范围.解当x∈[1，e]时，k≤有解，令g(x)＝，由例3(2)解题知，g(x)为单调增函数，∴g(x)max＝g(e)＝2＋，∴k≤2＋，即实数k的取值范围是(－∞，2＋].思维升华(1)利用导数解不等式的思路已知一个含f′(x)的不等式，可得到和f(x)有关的函数的单调性，然后可利用函数单调性解不等式.(2)利用导数证明不等式的方法证明f(x)时，令f′(x)＝0，得x＝.若x∈[1，]，则f′(x)<0，所以函数f(x)在[1，)上单调递减，所以当x∈[1，)时，f(x)≤f(1)＝0，不符合题意.综上，a的取值范围是(－∞，].题型二利用导数研究函数零点问题例4(2016·扬州模拟)设函数f(x)＝xex－asinxcosx(a∈R，其中e是自然对数的底数).(1)当a＝0时，求f(x)的极值；(2)若对于任意的x∈[0，]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；(3)是否存在实数a，使得函数f(x)在区间(0，)上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.解(1)当a＝0时，f(x)＝xex，f′(x)＝ex(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝－1.列表如下：x(－∞，－1)－1(－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝－，无极大值.(2)①当a≤0时，由于对于任意x∈[0，]，有sinxcosx≥0，所以f(x)≥0恒成立，即当a≤0时，符合题意；②当01时，f′(0)＝1－a<0，f′()＝(...
