第2课时参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)(t为参数)圆x2＋y2＝r2(θ为参数)椭圆＋＝1(a>b>0)(φ为参数)双曲线－＝1，(a>0，b>0)(φ为参数)抛物线y2＝2px(p>0)(t为参数)1．直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l的斜率．解将直线l的参数方程化为普通方程为y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.2．已知直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，求k的值．解直线l1的方程为y＝－x＋，斜率为－；直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2. l1与l2垂直，∴(－)×(－2)＝－1⇒k＝－1.3．已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，求PF的值．解将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知PF＝3－(－1)＝4.4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．解直线l的方程化为普通方程为x－y－＝0，椭圆C的方程化为普通方程为x2＋＝1，联立方程组得解得或∴A(1,0)，B.故AB＝＝.题型一参数方程与普通方程的互化例1(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A、B两点，AB＝，求l的斜率．解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.AB＝|ρ1－ρ2|＝＝.由AB＝得cos2α＝，tanα＝±.所以l的斜率为或－.思维升华消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．(1)求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．解(1)将消去参数t得直线x＋y－1＝0；将消去参数α得圆x2＋y2＝9.又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝<3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．(2)直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a＝3.题型二参数方程的应用例2(2016·扬州二模)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．解(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，解得－2≤a≤2.思维升华已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，求曲线C1与C2的交点坐标．解曲线C1的普通方程为x2＋y2＝5(x≥0，y≥0)．曲线C2的普通方程为x－y－1＝0.解方程组得∴曲线C1与C2的交点坐标为(2,1)．题型三极坐标方程和参数方程的综合应用例3(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3...
