第四章三角函数、解三角形第6讲正弦定理、余弦定理及解三角形习题理新人教A版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.(2016·哈尔滨模拟)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为，则C＝________.解析法一 S△ABC＝|AB||AC|sinA＝，即××1×sinA＝，∴sinA＝1，∴A＝90°，∴C＝60°.法二由正弦定理，得＝，即＝，∴C＝60°或C＝120°.当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝≠(舍去).而当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝，符合条件，故C＝60°.答案60°2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则角A的大小为________.解析由正弦定理，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A. A∈(0，π)，∴sinA＞0，∴sinA＝1，即A＝.答案3.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为________.解析 a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝，∴A＝，又bc＝4，∴△ABC的面积为bcsinA＝.答案4.(2016·泰州调研)张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是________km.解析画出示意图如图，由条件知AB＝24×＝6(km).在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6(km)，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝＝3(km).答案35.(2016·河南六市联考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为________.解析由S△ABC＝bcsinA＝，得bc＝3，①又由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，可得b2＋c2＝6.②由①②解得b＝.答案6.(2015·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝，A＝，则B＝________.解析由正弦定理知sinB＝＝＝，又因为a＞b，所以A＞B，所以B＝.答案7.(2015·重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________.解析由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×＝16，所以c＝4.答案48.(2014·江苏卷)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________.解析由sinA＋sinB＝2sinC，结合正弦定理得a＋b＝2c.由余弦定理得cosC＝＝＝≥＝，故≤cosC<1，故cosC的最小值为.答案二、解答题9.(2015·四川卷)已知A，B，C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于x的方程x2＋px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根.(1)求C的大小；(2)若AB＝3，AC＝，求p的值.解(1)由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式Δ＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0，所以p≤－2，或p≥，由根与系数的关系，有tanA＋tanB＝－p，tanAtanB＝1－p，于是1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0，从而tan(A＋B)＝＝－＝－，所以tanC＝－tan(A＋B)＝，所以C＝60°.(2)由正弦定理，得sinB＝＝＝，解得B＝45°，或B＝135°(舍去)，于是A＝180°－B－C＝75°，则tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋，所以p＝－(tanA＋tanB)＝－(2＋＋1)＝－1－.10.(2016·苏北四市一检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2－b2－c2＋bc＝0，2bsinA＝a，BC边上中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积.解(1)由a2－b2－c2＋bc＝0，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝，∴A＝，由2bsinA＝a，得b＝a，∴B＝A＝.(2)设AC＝BC＝x，由余弦定理，得AM2＝x2＋－2x··＝()2，解得x＝2，故S△ABC＝×2×2×＝2.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知钝角△ABC的面积为，AB＝1，BC＝，则AC等于________.解析 S＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，∴B＝或.当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意.故AC＝.答案12.(2016·南京师大附中模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a...
