第五章平面向量5.2平面向量基本定理及坐标表示教师用书理苏教版1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.3.平面向量共线的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.【知识拓展】1.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔＝.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(×)(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.(√)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(×)(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.(√)1.(教材改编)如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法中正确的有______.(填序号)①若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；③线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；④当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.答案①③解析①正确.若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.②不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定.③正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立；④不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2唯一确定.2.(教材改编)给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应.其中正确说法的个数是________.答案3解析由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误.3.(2015·课标全国Ⅰ)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝________.答案(－7，－4)解析AB＝(3，1)，AC＝(－4，－3)，BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).4.已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.答案－解析由已知条件可得ma＋nb＝(2m，3m)＋(－n，2n)＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(2，3)－(－2，4)＝(4，－1). ma＋nb与a－2b共线，∴＝，即n－2m＝12m＋8n，∴＝－.5.(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.答案(1，5)解析设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得题型一平面向量基本定理的应用例1(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF＝______________.(2)(2016·苏锡常镇调研)如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，BG＝2GO，设CD∥AG，若AD＝AB＋λAC(λ∈R)，则λ的值为________.答案(1)a＋b(2)解析 AC＝a，BD＝b，∴AD＝AO＋OD＝AC＋BD＝a＋b. E是OD的中点，∴＝，∴DF＝AB.∴DF＝AB＝(OB－OA)＝×[－BD－(－AC)]＝AC－BD＝a－b，∴AF＝AD＋DF＝a＋b＋a－b＝a＋b.(2)因为BG＝2GO，所以AG＝×(AB＋AC)＝AB＋AC.因为CD∥AG，所以设CD＝mAG，从而AD＝AC＋CD＝AC＋AB＋AC＝(1＋)AC＋AB.因为AD＝AB＋λAC，所以＝，λ＝1＋＝.思维升华平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算...
